Формула Бернулли

что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна:
Т
Формулировка теоремы
Формула Бернулли — формула в теории вероятностей,

позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. 

16 августа 1705г. Место смерти: Базель Гражданство: Швейцария Научная сфера: Математик Место работы: Базельский

университет Науч. рук.: Лейбниц Якоб Бернулли (нем. Jakob Bernoulli, 27 декабря 1654, Базель, — 16 августа 1705, там же) — швейцарский математик, брат Иоганна Бернулли; профессор математики Базельского университета (с 1687).
Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении вариационного исчисления, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы числа с некоторыми определенными свойствами.
Якобу Бернулли принадлежат также работы по физике, арифметике, алгебре и геометрии.

цене или падают в цене на один пункт с вероятностями

соответственно 0,75 и 0,25. Найти вероятность того, что акции после шести дней вернутся к своей первоначальной цене. Принять условие, что изменения цены акции вверх и вниз – независимые события.

РЕШЕНИЕ:
Для того, чтобы акции вернулись за 6 дней к своей первоначальной цене, нужно, чтобы за это время они 3 раза поднялись в цене и три раза опустились в цене.
Искомая вероятность рассчитывается
по формуле Бернулли

P6(3) = C36(3/4)3(1/4)3 = 0,13

подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну

перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?

ОТВЕТ:

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:

ОТВЕТ:

РЕШЕНИЕ:

РЕШЕНИЕ:

Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины.

Игральный кубик бросается 3 раза. Какова вероятность того, что в этой серии испытаний 6 очков появятся ровно 2 раза?

0,01389

8/27

0,9477

выпадет не более, чем 2 раза.
ОТВЕТ:
РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ:
РЕШЕНИЕ:
Пусть всхожесть семян пшеницы

составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдут 5?

0,124

0,344

во всех испытаниях;
1-p=1/3
Используя формулу Бернулли, получаем
P4(2) = C42·p2·(1-p)2=(12/2)·(2/3)2·(1/3)2 = 8/27
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

1

фирм-нарушителей будет выявлено три или четыре, т.е.

P(A)=P4(3)+P4(4)

P(A)= C340,93∙0,1+C44 0,94

= 0,93 (0,4+0,9)=0,9477

А в каждом из четырех независимых испытаний может произойти, а

может и не произойти.
Известно, что p= Р(А)=1/6
Тогда, согласно формуле Бернулли получим

P3(2)=C23(1/6)2(1-1/6)3-2=3∙1/36∙5/6=3/216≈0,01389

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 3

в том, что герб не выпадет ни разу, либо один

раз, либо два раза:

P(A)=P6(0)+P6(1)+P6(2)

P(A)= C06(1/2)0(1/2)6+C16(1/2)1(1/2)5+C26(1/2)2(1/2)4=0,344

вероятность:

P7(5)=C57 0,95 (1-0,9)2 =21∙0,59049∙0,01=0,124