Интерактивный плакат по теме "Свойства логарифмов", 10 класс

№ 13 с углублённым изучением отдельных предметов» города Губкина Белгородской

области

«Свойства логарифмов» ( 10 класс)

1 2 3

П. С. Лаплас
Формула перехода логарифмов от одного основания к другому
Теорема

о свойствах логарифма

Идея Архимеда

1) Чувств наших логарифмы

2) Механизм работы слуховой системы

3) Яркость источников света
— шкала звездных величин

4) Химическая чувствительность — шкала кислотности

Фронтальная работа по учебнику.

Из истории логарифмов

Алгебраическая головоломка

тест

Проверь себя

1 2 3

Назад

П. С. Лаплас
Формула перехода логарифмов от одного основания к другому
Теорема

о свойствах логарифма

Идея Архимеда

1) Чувств наших логарифмы

2) Механизм работы слуховой системы

3) Яркость источников света
— шкала звездных величин

4) Химическая чувствительность — шкала кислотности

Фронтальная работа по учебнику.

Из истории логарифмов

Алгебраическая головоломка

тест

Проверь себя

1 2 3

П. С. Лаплас
Формула перехода логарифмов от одного основания к другому
Теорема

о свойствах логарифма

Идея Архимеда

1) Чувств наших логарифмы

2) Механизм работы слуховой системы

3) Яркость источников света
— шкала звездных величин

4) Химическая чувствительность — шкала кислотности

Фронтальная работа по учебнику.

Из истории логарифмов

Алгебраическая головоломка

тест

Проверь себя

1 2 3

Назад

линейные шкалы— метры, мили и футы, граммы, тонны и фунты.

В науке диапазон измерений значительно шире, чем в быту, поэтому ученые часто оперируют порядками величин, записывая числа в так называемой научной символике, обозначаемой на калькуляторах как «scientific notation».
Например, вместо 56000 пишут 5,6 ´ 104. По существу, это логарифмическая запись, хотя в показателе степени обычно оставляют только целую часть логарифма, а мантиссу — дробную часть логарифма — записывают в виде десятичной дроби. Это удобно: целый показатель степени сразу указывает область измерения — «порядок величины». В нашем примере запись «104» говорит о том, что речь идет о десятках тысяч.
Неосознанно мы очень часто используем такое представление чисел и в быту. Говоря: «Три с половиной миллиона», или пользуясь сокращенной записью «3,5 млн», мы фактически пользуемся научной нотацией (3,5 ´ 106).
И, как оказывается, наша неявная склонность к логарифмическому представлению чисел имеет глубокое физиологическое обоснование: дело в том, что различные органы чувств в нашем теле тоже пользуются логарифмическими шкалами.

Чувств наших логарифмы

За фразой «всё познается в сравнении» стоит конкретная математическая формула

таких, что a≠1 и b≠1

осознается многими, а его основная идея как бы витает в

воздухе. В таких случаях к открытию приходят не один, а сразу несколько ученых. Так случилось и в истории логарифмов. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Логарифмы изобрели независимо друг от друга Непером и Бюрги лет на десять позднее. Их цель была одна — желание дать новое удобное средство арифметических вычислений. Подход же оказался разный. Надо заметить, что у обоих определение логарифма не походило на современное.
В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.
В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера. Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Из истории логарифмов http://ru.wikipedia.org/wiki/Непер,_Джон

Джон Непер

Леонард Эйлер

1 2

Логарифмические таблицы

Практическое значение вычисленных таблиц было очень велико. Но открытие логарифмов имело также глубочайшее теоретическое значение. Оно вызвало к жизни исследования, о которых не могли и мечтать первые изобретатели, преследовавшие цель только облегчить и ускорить арифметические и тригонометрические выкладки с большими числами. Открытие Непера, в частности, открыло путь в область новых трансцендентных функций и сообщило мощные стимулы в развитии анализа

логарифмы не чисел, а синусов. Они определялись «геометрико-кинематически» на линиях

в круге. «Логарифм всякого синуса – это такое число, которое возрастает арифметически с той же самой скоростью, с какой радиус убывает геометрически…» . Вычисление логарифма сводится к установлению соответствия двух пропорциональных шкал: арифметической и геометрической. Поэтому первые логарифмические линейки тоже строились из концентрических дисков. Линейка Отреда состояла из «кольца, внутри которого вращался на оси круг. На круг (снаружи) и кольцо (внутри) были нанесены свернутые в концентрические окружности логарифмические шкалы» . Книга, описывающая это изобретение, издана в 1632 г под названием «Круги пропорций». Сочинение Р. Делаймена, описывающее аналогичное устройство, называлось «Граммелогия или математическое кольцо». Эту книгу Делаймен посвятил Карлу 1 и преподнес ему авторский экземпляр вместе с солнечными часами собственного изготовления.

«Среди других круговых логарифмических линеек выделяется своей оригинальной конструкцией, напоминающей часы, инструмент француза Е. М. Буше. Он имеет два «циферблата» – подвижный, находящийся на лицевой стороне «часов», и приводимый в движение головкой – неподвижный. На подвижном циферблате расположена равномерная шкала (внешняя) и логарифмическая шкала чисел, на неподвижном – логарифмическая шкала синусов и тангенсов.

http://veer.info/56/14.htm#_edn24

История логарифмических линеек.

1 2

математическая формула
Звуковой сигнал любой природы может быть описан определенным набором

физических характеристик: частота, интенсивность, длительность, временная структура, спектр и др.. Им соответствуют определенные субъективные ощущения, возникающие при восприятии звуков слуховой системой: громкость, высота, тембр, биения, консонансы-диссонансы, маскировка, локализация-стереоэффект и т.п.

Слуховые ощущения связаны с физическими характеристиками неоднозначно и нелинейно, например, громкость зависит от интенсивности звука, от его частоты, от спектра и т.п.

Еще в прошлом веке был установлен закон Фехнера, подтвердивший, что эта связь нелинейна: "Ощущения пропорциональны отношению логарифмов стимула". Например, ощущения изменения громкости в первую очередь связаны с изменением десятичного логарифма интенсивности, высоты - с изменением логарифма частоты и т.д.

Всю звуковую информацию, которую человек получает из внешнего мира (она составляет примерно 25% от общей), он распознает с помощью слуховой системы и работы высших отделов мозга, переводит в мир своих ощущений, и принимает решения, как надо на нее реагировать.


http://websound.ru/articles/theory/psychoacoustics.htm

Механизм работы слуховой системы

математическая формула
Астрономы измеряют «блеск» небесных светил в звездных величинах. Это

безразмерная величина, характеризующая освещенность, создаваемую небесным объектом вблизи наблюдателя. Как видим, словом блеск астрономы характеризуют зрительное восприятие, не совсем совпадающее с тем, что принято в быту. Блеск одного источника указывают путем его сравнения с блеском другого, принятого за эталон. Такими эталонами обычно служат специально подобранные звезды.

http://www.vokrugsveta.ru/telegraph/theory/767/

Яркость источников света — шкала звездных величин

Блеск в астрономии — величина пропорциональная логарифму светового потока. Астрологи, оценивая видимую яркость звезд, оперируют с таблицей логарифмов, составленный при основании 2,512.
Однако коэффициент пропорциональности отрицателен (при основании логарифма больше единицы), поэтому самым ярким объектам на небе соответствует большая отрицательная величина (–26,8 для Солнца), а для самых тусклых — положительная (28 для едва различимых в телескоп звезд)

математическая формула
Химическая чувствительность — шкала кислотности
Очень близка к шкале

звездных величин и химическая шкала реакции среды, так называемая шкала кислотности. Всем, кто пользуется косметикой, водородный показатель pH определяется соотношением: pH = – lg [H+], где [H+] — концентрация положительных водородных ионов в растворе. При этом за ноль-пункт принимают чистую воду при комнатной температуре (нейтральная среда), имеющую [H+] =10–7. Далее при повышении кислотности значение pH уменьшается — чем не шкала звездных величин? Чем выше кислотность, тем ниже значение индекса, только основанием логарифма служит не 2,512… (как у звездных величин), а 10.

Как известно, первыми химическими индикаторами были наши вкусовые рецепторы, которыми сегодня пользуются только повара, а раньше пользовались и химики. Поэтому не удивительно, что в химии появилась логарифмическая шкала концентрации: сработал закон Вебера-Фехнера, которому подчиняются все наши чувства, в том числе и органы вкуса.

http://www.vokrugsveta.ru/telegraph/theory/767/

Ответы

 Найдите значение выражения: 4log72log780+log805.


4. Найдите значение выражения: 3 + log303

+ log3010.


5. Найдите значение выражения: log313,5-log194.

Вариант №2.

1.  Найдите значение выражения: log618 – log63 + 2.


2..  Найдите значение выражения: 71+log75.


3.  Найдите значение выражения: log2(8a),если log216a = 16.


4.   Найдите значение выражения: 6+(0,8)log0,81.


5.  Найдите значение выражения: log525 – log50,2 + 3.

Вариант №3.

1. Найдите значение выражения: 4log72log780+log805.


2.  Найдите значение выражения: log219+log2149.


3.  Найдите значение выражения: 2log17375*log517-log53.


4.  Найдите значение выражения: 2log723 + 3log722.


5. Найдите значение выражения: log560 – log512.

Вариант №4.

1.  Найдите значение выражения: log62 + log63 + log66.


2.  Найдите значение выражения: log1553+log1534+log155635.


3.  Найдите значение выражения: 0,1log0,12-0,1.


4. Найдите значение выражения: 6+0,8log0,81.


5. Найдите значение выражения: log0,39 - 2log0,310.

Вариант(ы): 1 2 3 4 Все Ответы

 Найдите значение выражения: 4log72log780+log805.


4. Найдите значение выражения: 3 + log303

+ log3010.


5. Найдите значение выражения: log313,5-log194.

Вариант(ы): 1 2 3 4 Все Ответы

Ответы
Вариант №2.


1.  Найдите значение выражения: log618 – log63 + 2.


2..

 Найдите значение выражения: 71+log75.


3.  Найдите значение выражения: log2(8a),если log216a = 16.


4.   Найдите значение выражения: 6+(0,8)log0,81.


5.  Найдите значение выражения: log525 – log50,2 + 3.

Ответы
Вариант №3.


1. Найдите значение выражения: 4log72log780+log805.


2.  Найдите значение выражения: log219+log2149.


3.

 Найдите значение выражения: 2log17375*log517-log53.


4.  Найдите значение выражения: 2log723 + 3log722.


5. Найдите значение выражения: log560 – log512.

Ответы
Вариант №4.


1.  Найдите значение выражения: log62 + log63 + log66.


2.

 Найдите значение выражения: log1553+log1534+log155635.


3.  Найдите значение выражения: 0,1log0,12-0,1.


4. Найдите значение выражения: 6+0,8log0,81.


5. Найдите значение выражения: log0,39 - 2log0,310.

общеобразоват. Учреждений: базовой и профил. Уровня/ [С. М. Никольский, М.

К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. – М.: Просвещение, 2009.
Глейзер Г. И. История математики в школе VII – VIII кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.
Энциклопедия для детей Т. 11 Математика/ Глав. Ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+, 2000. – 688с.: ил.
Ссылки
http://ru.wikipedia.org – портрет Непера ,рисунок логарифмических таблиц,
http://images.yandex.ru/familysearch?text=%D1%84%D0%BE%D1%82%D0%BE%20%D0%BB%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B0&stype=image-портрет Лапласа.

http://www.biografguru.ru/about/arkhimed/?q=214- изображение Архимеда.
http://websound.ru/articles/theory/psychoacoustics.htm- статья из журнала «Вокруг света» по теме « Чувств наших логарифмы» - взяты картинки для трех слайдов слайдов по этой-же теме.
http://Yudintseva.3dn.ru- сайт, по материалам которого были созданы тесты для проверки знаний.
http://www.rust.su/- Электронная энциклопедия "Все обо Всем«, использованы материалы по истории появления логарифмов
http://ru.wikipedia.org/wiki/Эйлер,_Леонард –портрет Леонарда Эйлера
www.surbor.ru - универсальная поисковая система, материал по истории логарифмов.
Коллекция анимационных картинок   Mata Gifs

1 2 3