История возникновения интеграла

шара.
При этом Архимед разработал и применил методы, предвосхитившие созданное в

XVII в. интегральное исчисление.

потребности вычислять площади любых фигур и поверхностей , объемы произвольных

тел.

Предыстория интегрального исчисления выходит к глубокой древности.

Идея интегрального исчисления была древними учеными предвосхищена гораздо в большой мере, чем идея дифференциального исчисления.

значительные попытки развития интеграционных методов Архимеда, увенчавшиеся успехом , были

предприняты в XVII в.., когда, с одной стороны, были достигнуты значительные успехи в области алгебры, а с другой – все более интенсивно развивались экономика, естествознание и техника, требовавшие более общих и мощных математических методов изучения и вычисления величин. Одним из первых видных ученых XVII в.., стремившихся к возрождению и развитию интеграционных метода Архимеда, был Иоганн Кеплер, открывший законы движения планет. Кеплер вычислял площади плоских фигур и поверхностей , объемы тел, основываясь на идее разложения фигур и тел на бесконечное число бесконечно малых частей, которые он называл «тончайшими кружочками» или «частями крайней малой ширины»; из этих мельчайших частиц, суммированных
им, он составляет фигуру, эквивалентную
первоначальной, но площадь или объем которой
ему известен.

жил тогда Кеплер, и его окрестностей исключительно урожайным, особенно изобиловал

виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определять их объемы. Этот вопрос как раз и входил в круг идей, которыми интересовался Кеплер. Так родилась его «Новая стереометрия винных бочек», вышедшая в свет в 1615г.

«неделимые», линии и плоскости лишенными всякой толщины. Под термином «все

линии» какой-либо плоскости фигуры Кавальери понимал все же сумму этих параллельных собой линии, из которых составлена фигура.

в XVII в., создание интегрального и дифференциального исчисления, завершенное Ньютоном

и Лейбницем, были Дж. Валлис., П. Ферма и Б. Паскаль.
Методы Валлиса, изложенные в его «Арифметике бесконечных» (1655), развивались вслед за методом неделимых Кавальери. При этом Валлис исходит уже не из примитивного понятия всех линий, а из суммы. Он рассматривает площадь (определенный интеграл) как общий предел верхних и нижних интегральных сумм при описании и вписании ступенчатых фигур.

разбил фигуру под кривой на малые полоски, которые можно принять

за прямоугольники. При этом, однако, он делил отрезок на оси Oх, основание криволинейной трапеции, не на части произвольной длины, как это делаем мы, а на отрезки, образующие геометрическую прогрессию. Этот метод деления Ферма назвал логарифмическим.

Паскаля. Он впервые познакомился с неделимыми у Кавальери, о котором

отзывался с большой похвалой. Однако, несмотря на то что Паскаль пользовался термином «неделимые», он их понимает не так, как Кавальери. «Сумма ординат» для Паскаля – это уже не все линии, а сумма неограниченного числа прямоугольников, сторонами каждого из которых служили ордината и маленькие равные отрезки абсцисс.
Признавая огромные заслуги Паскаля, следует, однако, отметить его «слабость»: он не пользовался новой символической алгеброй и не производил алгебраических выкладок.
Подобно древнегреческим математикам, он все
выражал словами. Вероятно, это обстоятельство
явилось одной из причин, из-за которых Паскаль был
лишен возможности создать тот новый общий
алгоритм исчисления бесконечных малых,
которые открыли Ньютон и Лейбниц.

Перевод К. Бальмонта.

начале 70-х годов этого столетия, когда под влиянием голландского ученого

Х. Гюйгенса изучил, кроме его работ, «Геометрию» Декарта, труды Кавальери, Валлиса, Паскаля и др.
Ньютон к основным понятиям и к алгоритму исчисления бесконечно малых пришел в середине 60-х годов XVII в., когда двадцатилетний Лейбниц был студентом юридического факультета и математикой еще не занимался.
Ньютон и Лейбниц, самостоятельно, каждый своими математическими выкладками пришли к понятию определенного интеграла и вывели формулу



Это и есть так называемая теперь «Формула Ньютона - Лейбница», которая носит название «основной формулы интегрального исчисления». Она позволяет
сводить довольно сложное вычисление
определенных интегралов,
т.е. нахождение предела
интегральных сумм, к сравнительно
более простой операции отыскивания
первообразных.