Комбинаторные задачи 5 класс (Н.Я.Виленкина)

в учебник В. Я. Виленкина
« Математика», 5 класс,

расширить знания .

науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять

различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи,называется комбинаторикой.



« Комбинаторика»( лат. «combinare», соединять, сочетать)

употребляются только цифры 1,2.
Решение В записи числа на первом месте

( в разряде сотен) может стоять цифра 1 или цифра 2:

десятков) в каждом случае также одна из двух цифр 1

или 2.

1

2

1

2

1

2

каждом из полученных случаев можно записать либо 1, либо 2:

. Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются

числа 0,7.

человек. После того как президент избран, вице- президентом можно выбрать

любого из четырёх оставшихся членов правления.

1

2

3

4

5

2

3

4

5

1

3

4

5

1

2

4

5

1

2

3

5

1

2

3

4

Значит выбрать президента можно пятью способами, и для каждого выбранного президента четырьмя способами можно выбрать вице- президента. Следовательно , общее число способов выбрать президента и вице- президента фирмы равно 5*4=20

из трёх других,а третьей-любая из двух других. Получаем
Первая

Вторая




Третья 684846

682826 482824 462624
Всего из данных цифр можно составить 4*3*2=24 числа

2

4

6

8

4

6

8

2

6

8

2

4

8

2

4

6

Размещением из n элементов по k (k

состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов. n!
Подсмотрим формулу An = -------
( n-k)!
В задаче№228,где надо найти количество трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 3,4,6,8,как раз и надо число размещений из 4 элементов по 3.
4! 1*2*3*4
Ищем A4 =----- =-------------= 24 УРА!
(4-3)! 1

k

3

первой цифрой будет одна из трёх оставшихся, на втором месте

могут стоять цифры отличные от первой, т.к. цифры в записи не должны повторятся. Значит:

2

4

6

0

4

6

0

2

6

0

2

4

Значит общее количество чисел равно 3*3=9

числе. Значит на первом месте может стоять одна из трёх

оставшихся цифр. На втором месте может стоять также одна из трёх цифр не совпадающая с первой. На третьем месте могут стоять две цифры не совпадающие ни с первой ,ни со второй.
о второй циф





3 5 05 03 1 5 05 01 1 3 0 3 1 0

Общее количество трёхзначных чисел равно 3*3*2=18

1

3

5

0

3

5

0

1

5

0

1

3

из пяти цифр, на втором месте может стоять любая из

четырёх цифр , отличная от первой


3 5 7 9 1 5 7 9 1 3 7 9 1 3 5 9 1 3 5 7

1

3

5

7

9

Количество двузначных чисел равно 5*4=20

может стоять О. Значит на первом месте может стоять одна

из двух оставшихся.На втором месте может стоять любая из трёх, на третьем месте также может стоять любая из трёх.




5 3 0 5 3 0 5 3 0 5 3 0 5 3 0 5 3 0

5

3

5

3

0

3

0

5

Всего чисел 2*3*3 =18

Метро Трамвай Автобус

Автобус

Троллейбус


Метро
Всего у Бориса есть 9 способов

можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9?
Составим таблицу: слева от

первого поместим первые цифры искомых чисел, а выше первой строки- вторые цифры этих чисел. Т.к. в двузначном числе на первом месте может стоять любая цифра, кроме О, то строки будут отмечены цифрами1,2,4,5,9. Значит, в нашей таблице будет пять строк. На втором месте в искомом числе должна стоять чётная цифра, значит, столбцы будут отмечены цифрами 0,2,4.

0

2 4
1

2

4

5
9
Возможных вариантов-15

плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может

кофе, соком, или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?
Соберём все варианты в такой таблице.
плюшка бутерброт пряник кекс

Кофе

Сок

кефир

Выбор еды и напитка происходит независимо, то

в каждой клетке будет стоять один из возможных вариантов завтрака и, наоборот, любой вариант завтрака будет записан в одной клетке.
Значит 4*3=12.
Приятного аппетита!

четырёх и т. д. испытаний можно объяснить ,с помощью геометрической

модели, которую называют деревом возможных вариантов. Вы уже им пользовались в предыдущих задачах. Н.п в задачах №228, № 323. Дерево наглядно и позволяет всё учесть

из бабушки, папы, мамы, дочери и сына подарили 5 разных

чашек. Сколькими способами можно разделить чашки между членами семьи?
Решение. У первого члена семьи( например, бабушка) есть 5 вариантов выбора, у второго члена(например, папа)-4 варианта, у третьего(мама)-3 варианта, у четвёртого(дочь)-2 варианта, у пятого(сын)-1 вариант.

Получили, что каждому выбору чашки бабушки соответствует 4

возможных выбора папы, т.е. всего5*4 способов. После того как папа выбрал чашку, у мамы есть 3 варианта выбора, у дочери-2, у сына-1, т.е. всего 3*2*1способов. Окончательно получаем, что для решения задачи надо найти произведение 5*4*3*2*1 или 1*2*3*4*5=5!(пять-факториал)
Значит количество вариантов равно
5!=120

n!

Маша, Катя и Наташа пришли к зубному врачу. Сколькими способами

они могут встать в очередь?
Рассуждаем. Предположим Лена встаёт в очередь там где ей захочется, у неё есть 5 вариантов, тогда у Светы остаётся встать в очередь 4 вариантами, у Маши-3 вариантами,у Кати-2 вариантами и у Наташи-1 вариантом. По правилу умножения получаем 5*4*3*2*1=5!=120 способов.
Заглядывая в учебник 9 класса, мы выяснили, что в данной ситуации у нас получилось число перестановок из 5 элементов!

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в

определённом порядке.
Когда Лена, Света, Катя, Маша, Наташа становились в очередь , они располагались в определённом порядке. Былоих5. Значит это перестановка из 5 злементов.
Подсмотрим формулу. Вот она Pn =n!
В нашем случае так и получилось P5=5!=120

бусинок разных цветов можно составить ожерелье( с застёжкой)?
Рассуждаем.

Т.к. застёжка в ожерелье не меняет своё место, то число перестановок из 7 элементов, т.е. 7!
1*2*3*4*5*6*7= 720*7=5040 способов

6 разных книг. Сколькими способами эти книги можно разместить на

полке?
Рассуждаем. Положение 1-й книги будет определяться6 вариантами, положение второй книги-5 вариантами,3книги -4 вариантами, 4-й-соответственно-3вариантами,5-й-2 вариантами,6-й-1вариантом. Значит всего способов по правилу умножения6*5*4*3*2*1=6!=720
А можно по другому?. Да. Найдём число перестановок из 6 элементов т.е.P6 =6! =720

имеет 6 кнопок. Чтобы его открыть, нужно нажать кнопки в

определённой последовательности( набрать код). Сколько существует вариантов кода для этого замка
Рассуждаем. Явно нам необходимо найти количество перестановок из 6 элементов.т.е P6 =6! =720

в детском саду на четырёхместный стол поставили сок, молоко, какао

и компот. Сколькими способами четверо детей могут выбрать себе один из напитков?
Рассуждаем.Первый ребёнок имеет возможность выбрать любой стакан 4вариантами, второму остаётся выбор из 3 вариантов, третьему придётся выбирать из 2 вариантов, четвёртому остаётся выбор одного варианта. По правилу умножения -количество вариантов равно 4*3*2*1=4!=24
А можно по –другому? Да. Количество перестановок
P4 =4! =24

могут разместиться в четырёхместном купе?

Рассуждаем. Первый пассажир может выбрать любое

место из 4, второму остаётся выбирать из 3 вариантов, третьему из 2вариантов, ну а 4 пассажир займёт то место, которое останется. Значит количество способов 4*3*2*1=24, а по -другому P4 =4!=24
Счастливого пути!