Разделы презентаций


Леонард Эйлер и его вклад в математическую науку.

Содержание

Карта презентации.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Леонард Эйлер и его вклад в математическую науку.

Леонард Эйлер и его вклад в математическую науку.

Слайд 2Карта презентации.

Карта презентации.

Слайд 3Блокнот.
1.
x
y
z = (x+ky)/(k+1), где k= x1/ y1
z
x1
y1
2.
- центроид
3d=a+b+c
3.
- ортоцентр
- Центр

описанной окружности
d=a+b+c
4.
Для многогранников, где: Р – рёбра, В – вершины

и Г – грани:

1)В - Р + Г = 2

2)Р + 6≤ 3В и Р + 6≤ 3Г

m – точки
n – дуги, попарно не пересекаются, не проходят через m-2 точки
l – количество областей
m – n + l = 2

5.

Блокнот.1.xyz = (x+ky)/(k+1), где k= x1/ y1zx1y12.- центроид3d=a+b+c3.- ортоцентр- Центр описанной окружностиd=a+b+c4.Для многогранников, где: Р – рёбра,

Слайд 4Краткие биографические сведения о Леонардо Эйлере.
Идеальный математик 18 века

- так часто называют Эйлера(1707-1789). Он родился в маленькой тихой

Швейцарии. Примерно в то же время переселилась в Базель из Голландии семья Бернулли: уникальное созвездие научных талантов во главе с братьями Якобом и Иоганном. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию. Но когда ребята подросли, выяснилось, что в Швейцарии не хватит места для их умов. Зато в России была учреждена в 1725 году Академия Наук. Русских ученых не хватало, и тройка друзей отправилась туда. Поначалу Эйлер расшифровывал дипломатические депеши, обучал молодых моряков высшей математике и астрономии, составлял таблицы для артиллерийской стрельбы и таблицы движения Луны.
В 26 лет Эйлер был избран российским академиком, но через 8 лет он переехал из Петербурга в Берлин. Там "король математиков" работал с 1741 по 1766 год; потом он покинул Берлин и вернулся в Россию. Удивительно: слава Эйлера не закатилась и после того, как ученого поразила слепота (вскоре после переезда в Петербург). В 1770-е годы вокруг Эйлера выросла Петербургская математическая школа, более чем наполовину состоявшая из русских ученых. Тогда же завершилась публикация главной его книги - "Основ дифференциального и интегрального исчисления".
В начале сентября 1783 Эйлер почувствовал легкое недомогание. 18 сентября он еще занимался математическими исследованиями, но неожиданно потерял сознание и «прекратил вычислять и жить».
Похоронен на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге, откуда его прах перенесен осенью 1956 в некрополь Александро-Невской лавры.

Л. Эйлер

Краткие биографические сведения о Леонардо Эйлере. Идеальный математик 18 века - так часто называют Эйлера(1707-1789). Он родился

Слайд 5Прямая Эйлера.
Дан прямоугольный треугольник АСВ. Проведем медиану СО. Середина O

гипотенузы AB является центром описанной около него окружности. Центроид G

делит медиану CO в отношении 2:1, считая от вершины C. Катеты AC и BC являются высотами треугольника, поэтому вершина C прямого угла совпадает с ортоцентром H треугольника. Таким образом, точки O,G,H лежат на одной прямой, причем OH=3OG.

Прямая Эйлера – прямая, которой принадлежат ортоцентр (точка пересечения высот) , центроид (точка пересечения медиан) и центр описанной окружности треугольника.

= Н

Прямая Эйлера.Дан прямоугольный треугольник АСВ. Проведем медиану СО. Середина O гипотенузы AB является центром описанной около него

Слайд 6Прямая Эйлера.
Деление отрезка в данном отношении.

Прямая Эйлера.Деление отрезка в данном отношении.

Слайд 7Прямая Эйлера

Прямая Эйлера

Слайд 8Прямая Эйлера

Прямая Эйлера

Слайд 9Прямая Эйлера

Прямая Эйлера

Слайд 10Прямая Эйлера
Задача
Какие стороны пересекает прямая Эйлера в остроугольном и тупоугольном

треугольниках?
Решение
Пусть AB > BC > CA. Легко проверить, что для остроугольного

и тупоугольного треугольников точка H пересечения высот и центр O описанной окружности расположены именно так, как на рис. (т. е. для остроугольного треугольника точка O лежит внутри треугольника BHC1, а для тупоугольного точки O и B лежат по одну сторону от прямой CH). Поэтому в остроугольном треугольнике прямая Эйлера пересекает наибольшую сторону AB и наименьшую сторону AC, а в тупоугольном треугольнике — наибольшую сторону AB и среднюю по длине сторону BC.
Прямая ЭйлераЗадачаКакие стороны пересекает прямая Эйлера в остроугольном и тупоугольном треугольниках?РешениеПусть AB > BC > CA. Легко проверить,

Слайд 11Теорема Эйлера о многогранниках.
(4)Теорема Эйлера: Пусть В - число вершин

выпуклого многогранника, Р - число его ребер и Г -

число граней. Тогда верно равенство
В - Р + Г = 2
Число х = В - Р + Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То, что эйлеровая характеристика равна 2 для многих многогранников, видно из следующей таблицы:

Многогранник

В

Р

Г

Х

Тетраэдр

Куб

n-угольная
пирамида

n-угольная
призма

4

6

4

8

12

6

n+1

2n

n+1

2n

3n

n+2

2

2

2

2

Теорема Эйлера о многогранниках.(4)Теорема Эйлера:  Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его

Слайд 12Теорема Эйлера о многогранниках.
Имеется много доказательств теоремы Эйлера. В одной

из них используется формула для суммы углов многоугольника. Рассмотрим это

доказательство. Возьмем снаружи многогранника точку О вблизи от какой-либо грани F и спроектируем остальные грани на F из центра О . Их проекции образуют разбиение грани F на многоугольники. Подсчитаем двумя способами сумму α углов всех полученных многоугольников и самой грани F. Сумма угов n-угольника равна π(n - 2). Сложим эти числа для всех граней (включая грань F). Сумма членов вида πn равна общему числу сторон всех граней, т.е. 2Р- ведь каждое из Р рёбер принадлежит двум граням. А так как у нас всего Г слагаемых, α = π(2Р - 2Г). Теперь найдем сумму углов при каждой вершине разбиения и сложим эти суммы. Если вершина лежит внутри грани F, то сумма углов вокруг нее равна 2π. Таких вершин В-k, где k- число вершин самой грани F, а значит, их вклад равен 2π(В - k). Углы при вершинах F считаются в сумме дважды (как углы F и как углы многоугольников разбиения); их вклад равен 2π(k - 2). Таким образом, α = 2π(B - k) + 2π(k - 2) = 2π(B - 2). Приравнивая два результата и сокращения на 2π, получаем требуемое равенство Р - Г = В - 2

F

Теорема Эйлера о многогранниках.Имеется много доказательств теоремы Эйлера. В одной из них используется формула для суммы углов

Слайд 13Доказательство:
Перепишем соотношение Эйлера дважды, один раз в виде
Р

+ 2 = В + Г
И другой раз в виде


4 = 2В - 2Р + 2Г
Складывая эти равенства, получаем
Р + 6 = 3В + 3Г - 2Р
Так как у каждой грани многогранника не менее трех сторон, то 3Г≤ 2Р. Отсюда сразу получаем Р + 6≤ 3В.
Утверждение доказано.

Доказательство:
Обозначим через Гi число i-угольных граней в многограннике М. Ясно, что
Г = Г3 + Г4 + Г5 + …
Ясно также, что каждая i-угольная грань содержит i ребер многогранника. С другой стороны, каждое ребро многогранника принадлежит в точности двум граням. Поэтому в сумме 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + … каждое ребро многогранника подсчитано, причем подсчитано дважды. Отсюда имеем
2Р = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 +…
Рассмотрим теперь сумму S плоских углов многогранника:
S = Г3 ·π + Г4 · 2π + Гi · ( i -2 )π + …
С учетом полученных соотношений и теоремы Эйлера соотношение можно переписать так:
S = Г3 ( 3 - 2 )π + Г4 (4 -2 )π + Гi ( i - 2 )π + … = 2Рπ - 2Гπ = 2Вπ - 4π.

Доказательство: Перепишем соотношение Эйлера дважды, один раз в виде Р + 2 = В + ГИ другой

Слайд 14Теорема Эйлера о многогранниках.
Задача. Доказать теорему Эйлера для плоского графа.

(Граф называется плоским, если его можно расположить на плоскости так,

чтобы ребра пересекались только в вершинах.)

Если в графе есть цикл, то есть внутренняя грань. Возьмем цикл, ограничивающий внутреннюю грань. Выкинем из него одно ребро. Граф остался связным, плоским. Число Р уменьшилось на один, но и число Г уменьшилось на один, т.к. грань, которая была по сторону от стертого ребра стерлась. Таким образом, число В+Г-Р не изменилось. Если в графе опять есть цикл мы поступаем так же. Т.к. ребер в графе конечное число, а количество ребер постепенно уменьшается, то когда-нибудь наше стирание его рёбер закончится. Т.е. мы придем к ситуации, что число В+Г-Р не изменилось по сравнению с первоначальным, граф остался связным, плоским и циклов в графе нет. => граф стал деревом, а грань осталась одна - внешняя. Продолжаем стирать грани. Число Р уменьшается на один, число В уменьшается на один, число В+Г-Р не меняется. Полученный граф снова дерево, он плоский и связный, а число вершин у него уменьшилось => поступаем так, пока не останется две вершины, соединенные ребром. Тут уже не сложно посчитать, что В+Г-Р=2+1-1=2, а число В+Г-Р не менялось => для начального графа оно тоже 2.

Теорема Эйлера о многогранниках.Задача. Доказать теорему Эйлера для плоского графа. (Граф называется плоским, если его можно расположить

Слайд 15Теория графов и задача Эйлера.
Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена

такая загадка: как пройти по всем мостам, не проходя ни

по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу, как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако доказать, что это даже теоретически невозможно.
В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко определить есть ли у неё решение.
На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (рёбра графа), а частям города — точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам:
Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа всегда чётно. Невозможно начертить граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.
Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.
Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.
Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины, следовательно невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.
Теория графов и задача Эйлера.Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам,

Слайд 16Теория графов и задача Эйлера.
Теорема Эйлера. (5)
Пусть на плоскости задано

m точек и n попарно непересекающихся дуг, каждая из которых

соединяет какие-либо две данные точки и не проходит через остальные m–2 точки, и пусть эти дуги делят плоскость на l областей. Если из каждой данной точки в любую из остальных можно попасть, двигаясь по этим дугам, то
m – n + l = 2.

В случае, изображенном на рисунке 1, все условия теоремы Эйлера выполнены, m=12, n=18, l=8 и m–n+l=2. На рисунках 2 и 3 изображены случаи, когда условия этой теоремы не выполняются. Так, на рисунке 2 из точки A1 нельзя попасть в точку A5 и m–n+l=3≠2, а на рисунке 3 линия, соединяющая точки A1 и A2, является самопересекающейся и опять m–n+l=3≠2. В некоторых задачах совокупность, состоящую из нескольких точек и соединяющих их попарно непересекающихся дуг, мы называем картой; при этом точки из этой совокупности мы называем вершинами, а области, на которые дуги делят плоскость, — странами.

Теория графов и задача Эйлера.Теорема Эйлера. (5)Пусть на плоскости задано m точек и n попарно непересекающихся дуг,

Слайд 17Теория графов и задача Эйлера.
Теорема Эйлера. (5) Задача.
Три поссорившихся соседа

имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от

каждого дома к каждому колодцу?

Изобразим дома синими, а колодцы — чёрными точками и каждую синюю точку соединим дугой с каждой чёрной точкой так, чтобы  девять  полученных дуг попарно не пересекались. Тогда всякие две точки, изображающие дома или колодцы, будут соединены цепочкой дуг, и в силу теоремы Эйлера эти девять дуг разделят плоскость на 9–6+2=5 областей. Каждая из пяти областей ограничена по крайней мере четырьмя дугами, так как по условию задачи ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Поэтому число дуг должно быть не меньше ½·5·4 = 10, и, следовательно, наше предположение неверно.

Теория графов и задача Эйлера.Теорема Эйлера. (5) Задача.Три поссорившихся соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика