"Перестановки. Сочетания. Комбинации"

2
управления образования
администрации г.Шахтерска
Донецкой Народной Республики
Демичева Ирина Владимировна

этих элементов

Пример 1
Дано множество

. Составить все перестановки этого множества.
Решение.

Пример 1
Дано множество . Составить все перестановки этого множества.
Решение.

№1

элементов равно n!
Замечание.



Считают, что 0!=1


читается «n факториал» и

вычисляется по формуле

получить с помощью n действий:
выбор первого элемента n различными способами,
выбор

второго элемента из оставшихся (n-1) элементов, т.е. (n-1) способом,
выбор третьего элемента (n-2) способами,
……
n) выбор n-го элемента 1 способом.
По правилу умножения число всех способов выполнения действий, т.е. число перестановок, равно

№ 3

котором есть одинаковые элементы, а именно элементов

i –того типа ( ) вычисляется по формуле



где

Доказательство.
Так как перестановки между одинаковыми элементами не изменяют вид перестановки в целом, количество перестановок всех элементов множества нужно разделить на число перестановок одинаковых элементов.

№4

слове «экзамен», а в слове «математика»?
Решение: В слове «экзамен» все

буквы различны, поэтому используем формулу для числа перестановок без повторений


В слове «математика» 3 буквы «а», 2 буквы «м», 2 буквы «т», поэтому число перестановок всех букв разделим на число перестановок повторяющихся букв:

№5

называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из

данных n.
Пример
Дано множество . Составим все 2-размещения этого множества.

№6

k вычисляется по формуле


Доказательство. Каждое размещение можно получить с помощью

k действий:
1) выбор первого элемента n способами;
2) выбор второго элемента (n-1) способами;
и т. д.
k) выбор k –го элемента (n-(k-1))=(n-k+1) способами.
По правилу умножения число всех размещений будет
n(n-1)(n-2)…(n-k+1).

Теорема доказана

№7

число номеров ему нужно перебрать, если он вспомнил, что эти

последние цифры разные?

Задача сводится к поиску различных перестановок 3 элементов из 10 ( так как всего цифр 10). Применим формулу для числа перестановок.

№9

Решение.




Ответ: 720 номеров

k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом

из данных n элементов возможно с повторениями

№10

Пример
Дано множество
Составим 2- размещения с повторениями:

из
n элементов вычисляется по формуле
№11
Доказательство. Каждый элемент размещения

можно выбрать n способами. По правилу умножения число всех размещений с повторениями равно

буквах номера машины не используются буквы «й», «ы», «ь», «ъ»,

тогда число перестановок букв равно

Число перестановок цифр равно

По правилу умножения получим число номеров машин

Ответ: 24389000 номеров

№12

полного совпадения ФИО?
Решение
Задача сводится к подсчету числа перестановок ФИО.
№13
Ответ:

40320 способов

указанных ученика располагались рядом?
Решение
Можно считать двоих указанных учеников за один

объект и считать число перестановок уже 7 объектов, т.е.
Так как этих двоих можно переставлять местами друг с другом, необходимо умножить результат на 2!

№14

Ответ: 10080 способов

по 4, 5 и 2 человека соответственно?
Решение. Сделаем карточки: четыре

карточки с номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3. Будем раздавать эти карточки с номерами групп спортсменам, и каждый способ раздачи будет соответствовать разбиению спортсменов на группы. Таким образом нам необходимо посчитать число перестановок 11 карточек, среди которых четыре карточки с одинаковым номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3.

Ответ: 6930 способов

№15

учеников из 7?
Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений из

7 элементов по 4

Ответ: 840 способов

№16

разряде единиц тысяч не может быть нуля, т.е. возможны 9

вариантов цифры.
В остальных трех разрядах не может быть цифры, стоящей в разряде единиц тысяч (так как все цифры должны быть различны), поэтому число вариантов вычислим по формуле размещений без повторений из 9 по 3

Ответ: 4536 чисел

№17

По правилу умножения получим

сводится к подсчету числа размещений с повторениями из двух элементов

по 10

Ответ: 1024 чисел

№18

они могут распределиться по этажам дома?
Решение. Очевидно, что на первом

этаже никому не надо выходить. Каждый из 7 человек может выбрать любой из 8 этажей, поэтому по правилу умножения получим

Ответ: 2097152 способов

№19

Можно так же применить формулу для числа размещений с повторениями из 8 (этажей) по 7(на каждого человека по одному этажу)

Так как среди цифр есть 0, то, например запись 0227

соответствует числу 227, запись 0072 соответствует числу 72, а запись 0007 соответствует числу 7. Таким образом, задачу можно решить, используя формулу числа размещений с повторениями

Ответ: 81 число

№20

участия в соревнованиях следует выделить четырёх мальчиков и трёх девочек.

Сколькими способами можно сделать выбор?






Ответ: 220220 способов

220220

варианты: 30 вариантов/ под редакцией А. Л. Семенова, И. В.

Ященко. – М.:Национальное образование, 2013.
2. Математика. Базовый уровень. ГИА-2014. Пособие для «чайников»/под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова.- Ростов н/Д:Легион, 2013.
3. Математика. ЕГЭ 2015. Книга 1. Базовый уровень. Профильный уровень/Д.А.Мальцев и др.- Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А.; М.:Народное образование, 2015.

Список литературы

Интернет-ресурсы