Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли

Содержание

1. Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли
2. Содержание.1.Определение функции заданной неявно.2.Определение лемнискаты.3.Вывод уравнения лемнискаты.4.Преобразование
3. Определение неявно заданной функцииРассмотрим функцию, заданную неявно
4. Лемниската –
5. Пусть фокусы имеют координаты: F1(-a;0) и
6. Преобразование уравнения лемнискатыДальнейшая цель- получить уравнение лемнискаты
7. Преобразование уравнения лемнискатыПреобразуя последнее уравнение, имеем:или в окончательном видеМы получили уравнение лемнискаты в декартовой системе координат.
8. Построение графика лемнискатыТ.к х и у входят
9. Уравнение лемнискаты в полярной системе координат Поскольку
10. ρ 2=2а2 cos2φИз этого уравнения видно, чтопри
11. Построение лемнискатыПостроим график функции при разных значениях
12. Построение лемнискаты
13. Построение лемнискаты при а=-0,5
14. При построении кривых семейства овалов Кассини, промежуточным
15. В технике лемниската применяется, в частности, в
16. Существует два способа построения лемнискаты. Первый способ
17. Второй способ - с помощью шарнирного устройства, две точки которого закреплены на плоскости (рис.3).Способы построения лемнискатыРис.3
18. Лемниската Бернулли.Ее автор – швейцарский математик Якоб
19. БЕРНУЛЛИ Якоб I (1654-1705). Швейцарский математик.
20. ♣ Вирченко Н.А. и др.Справочник «Графики функций»;
21. Internet-ресурсы: WWW.Colledg.Ru;WWW.5ballov.Ru; WWW.bankreferatov.Ru; WWW.rubricon.com. Программное обеспечение: MS
22. Скачать презентанцию

Содержание.1.Определение функции заданной неявно.2.Определение лемнискаты.3.Вывод уравнения лемнискаты.4.Преобразование уравнения лемнискаты.5.Уравнение лемнискаты в полярной системе координат.6.Исследование уравнения лемнискаты.7.Построение лемнискаты.8. Применение лемнискаты.9.Краткая историческая справка.

Главная
Математика
Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Тема: «Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли»

Проект

Гузь Ольги

Слайд 2Содержание.
1.Определение функции заданной неявно.
2.Определение лемнискаты.
3.Вывод уравнения лемнискаты.
4.Преобразование уравнения лемнискаты.
5.Уравнение лемнискаты

в полярной системе координат.
6.Исследование уравнения лемнискаты.
7.Построение лемнискаты.
8. Применение лемнискаты.
9.Краткая историческая

справка.

Содержание.1.Определение функции заданной неявно.2.Определение лемнискаты.3.Вывод уравнения лемнискаты.4.Преобразование уравнения лемнискаты.5.Уравнение лемнискаты в полярной системе координат.6.Исследование уравнения лемнискаты.7.Построение лемнискаты.8.

Слайд 3Определение неявно заданной функции
Рассмотрим функцию, заданную неявно уравнением F(x ,y)=0.
В

зависимости от того, какой является функция F(x ,y)-алгебраической или трансцендентной,-

кривые также делятся на алгебраические и трансцендентные.
Примеры, лемниската Бернулли.

Определение неявно заданной функцииРассмотрим функцию, заданную неявно уравнением F(x ,y)=0.В зависимости от того, какой является функция F(x

Слайд 4 Лемниската –
это кривая,

у которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданных

точек- фокусов -постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними.

Определение лемнискаты

Лемниската – это кривая, у которой произведение расстояний каждой ее точки

Слайд 5 Пусть фокусы имеют координаты: F1(-a;0) и F2 (а;0); М(х,

у) - произвольная точка геометрического места,
то по условию

Подставляя в

это равенство выражения

получим искомое уравнение данного геометрического места

Вывод уравнения лемнискаты

Пусть фокусы имеют координаты: F1(-a;0) и F2 (а;0); М(х, у) - произвольная точка геометрического места, то

Слайд 6Преобразование уравнения лемнискаты

Дальнейшая цель- получить уравнение лемнискаты Бернулли в более

простом виде.
Возводя в квадрат обе части уравнения и группируя

члены, находим

отсюда

Преобразование уравнения лемнискатыДальнейшая цель- получить уравнение лемнискаты Бернулли в более простом виде. Возводя в квадрат обе части

Слайд 7Преобразование уравнения лемнискаты
Преобразуя последнее уравнение, имеем:

или в окончательном виде

Мы получили

уравнение лемнискаты в декартовой системе координат.

Преобразование уравнения лемнискатыПреобразуя последнее уравнение, имеем:или в окончательном видеМы получили уравнение лемнискаты в декартовой системе координат.

Слайд 8Построение графика лемнискаты

Т.к х и у входят в это уравнение

только в чётных степенях, то лемниската симметрична относительно координатных осей.
Построить

график данной функции затруднительно.
Запишем это же уравнение в полярной системе координат.

Построение графика лемнискатыТ.к х и у входят в это уравнение только в чётных степенях, то лемниската симметрична

Слайд 9Уравнение лемнискаты в полярной системе координат

Поскольку х =ρ cos

φ, у = ρ sinφ, х2+у2= ρ2, то уравнение лемнискаты

в полярных координатах примет вид
ρ 4=2а2 ρ(cos2φ- sin2φ)
или

ρ 2=2а2 cos2φ.

Уравнение лемнискаты в полярной системе координат Поскольку х =ρ cos φ, у = ρ sinφ, х2+у2= ρ2,

Слайд 10ρ 2=2а2 cos2φ
Из этого уравнения видно, что
при φ=0. Если φ

увеличивается в пределах
от 0 до , то ρ

уменьшается от до ρ=0.
Если , то ρ принимает мнимые
значения. Это означает, что на лемнискате нет точек, для которых φ меняется в указанных пределах.

Исследование уравнения лемнискаты

ρ 2=2а2 cos2φИз этого уравнения видно, чтопри φ=0. Если φ увеличивается в пределах от 0 до

Слайд 11Построение лемнискаты
Построим график функции
при разных значениях а:

при а=1

Слайд 12Построение лемнискаты

Слайд 13Построение лемнискаты
при а=-0,5

Слайд 14При построении кривых семейства овалов Кассини, промежуточным графиком является лемниската

Бернулли.

1.

2. 3. 4.
Фигура выпуклая как эллипс.
Появляется вогнутая перемычка с четырьмя точками перегиба.
Перемычка смыкается, полученная фигура называется лемнискатой Бернулли.
Фигура разваливается на два овала.

Построение

При построении кривых семейства овалов Кассини, промежуточным графиком является лемниската Бернулли. 1.

Слайд 15
В технике лемниската применяется, в частности, в качестве переходной кривой

на закруглениях малого радиуса, как это имеет место на железнодорожных

линиях в горной местности и на трамвайных путях.

Применение:

В технике лемниската применяется, в частности, в качестве переходной кривой на закруглениях малого радиуса, как это имеет

Слайд 16Существует два способа построения лемнискаты.
Первый способ - с помощью

двух угольников и нарисованной на листе бумаги окружности (рис.2).Вершина острого

угла одного из угольников находится в центре окружности, вершина прямого угла другого -на окружности.

Способы построения лемнискаты

Рис.2

Существует два способа построения лемнискаты. Первый способ - с помощью двух угольников и нарисованной на листе бумаги

Слайд 17Второй способ - с помощью шарнирного устройства, две точки которого

закреплены на плоскости (рис.3).
Способы построения лемнискаты
Рис.3

Слайд 18
Лемниската Бернулли.
Ее автор – швейцарский математик Якоб Бернулли. Он дал

этой кривой поэтическое название «лемниската».

В античном Риме так называли

бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх.

Историческая справка

Лемниската Бернулли.Ее автор – швейцарский математик Якоб Бернулли. Он дал этой кривой поэтическое название «лемниската». В античном

Слайд 19БЕРНУЛЛИ Якоб I (1654-1705). Швейцарский математик. Работал в Базельском

университете.
Работы посвящены математическому анализу, теории вероятностей и механике. В 1687

познакомился с первым мемуаром Лейбница по дифференциальному исчислению и применил его идеи к изучению ряда кривых, встречающихся в математике, механике, и выводу формулы радиуса кривизны плоской кривой. Ввел термин «интеграл».

Краткая биография

БЕРНУЛЛИ Якоб I (1654-1705). Швейцарский математик. Работал в Базельском университете.Работы посвящены математическому анализу, теории вероятностей и

Слайд 20♣ Вирченко Н.А. и др.Справочник «Графики функций»; Киев: Наук. думка,

1979г;
♣ И.И.Валуцэ «Математика для техникумов»; Москва, Издательство «Наука», 1980г;
♣ Маркушевич

А.И. «Замечательные кривые»; Москва 1978 г.

Список использованной литературы

♣ Вирченко Н.А. и др.Справочник «Графики функций»; Киев: Наук. думка, 1979г;♣ И.И.Валуцэ «Математика для техникумов»; Москва, Издательство

Слайд 21Internet-ресурсы: WWW.Colledg.Ru;
WWW.5ballov.Ru; WWW.bankreferatov.Ru; WWW.rubricon.com.
Программное обеспечение: MS Word; MS Power

Point;Windows Media; Nero Wave Editor; Сканер.

Список использованной литературы

Internet-ресурсы: WWW.Colledg.Ru;WWW.5ballov.Ru; WWW.bankreferatov.Ru; WWW.rubricon.com. Программное обеспечение: MS Word; MS Power Point;Windows Media; Nero Wave Editor; Сканер.Список использованной

Скачать презентацию

Теги

Разделы презентаций

Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Тема: «Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли»Проект

Гузь Ольги

в полярной системе координат.6.Исследование уравнения лемнискаты.7.Построение лемнискаты.8. Применение лемнискаты.9.Краткая историческая

Слайд 3Определение неявно заданной функцииРассмотрим функцию, заданную неявно уравнением F(x ,y)=0.В

зависимости от того, какой является функция F(x ,y)-алгебраической или трансцендентной,-

Слайд 4 Лемниската – это кривая,

у которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданных

Слайд 5 Пусть фокусы имеют координаты: F1(-a;0) и F2 (а;0); М(х,

у) - произвольная точка геометрического места, то по условиюПодставляя в

Слайд 6Преобразование уравнения лемнискатыДальнейшая цель- получить уравнение лемнискаты Бернулли в более

простом виде. Возводя в квадрат обе части уравнения и группируя

Слайд 7Преобразование уравнения лемнискатыПреобразуя последнее уравнение, имеем:или в окончательном видеМы получили

уравнение лемнискаты в декартовой системе координат.

Слайд 8Построение графика лемнискатыТ.к х и у входят в это уравнение

только в чётных степенях, то лемниската симметрична относительно координатных осей.Построить

Слайд 9Уравнение лемнискаты в полярной системе координат Поскольку х =ρ cos

φ, у = ρ sinφ, х2+у2= ρ2, то уравнение лемнискаты

Слайд 10ρ 2=2а2 cos2φИз этого уравнения видно, чтопри φ=0. Если φ

увеличивается в пределах от 0 до , то ρ

Слайд 11Построение лемнискатыПостроим график функции при разных значениях а:

Слайд 12Построение лемнискаты

Слайд 13Построение лемнискаты при а=-0,5