Разделы презентаций


Презентация по геометрии на тему "Перпендикуляр и наклонная"

Содержание

Ортогональной проекцией точки А на данную плоскость называется проекция точки на эту плоскость параллельно прямой, перпендикулярной этой плоскости. Ортогональная проекция фигуры на данную плоскость p состоит из ортогональных проекций на плоскость

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ

Слайд 4Ортогональной проекцией точки А на данную плоскость называется проекция точки

на эту плоскость параллельно прямой, перпендикулярной этой плоскости. Ортогональная проекция

фигуры на данную плоскость p состоит из ортогональных проекций на плоскость p всех точек этой фигуры.
Ортогональная проекция часто используется для изображения пространственных тел на плоскости, особенно в технических чертежах. Она дает более реалистическое изображение, чем произвольная параллельная проекция, особенно круглых тел.

Ортогональная проекция

Ортогональная проекция
точки и фигуры.

Ортогональная проекция
детали.

Ортогональной проекцией точки А на данную плоскость называется проекция точки на эту плоскость параллельно прямой, перпендикулярной этой

Слайд 5Пусть через точку А, не принадлежащую плоскости p, проведена прямая,

перпендикулярная этой плоскости и пересекающая ее в точке В. Тогда

отрезок АВ называется перпендикуляром, опущенным из точки А на эту плоскость, а сама точка В — основанием этого перпендикуляра. Любой отрезок АС, где С — произвольная точка плоскости p, отличная от В, называется наклонной к этой плоскости.
Заметим, что точка В в этом определении является ортогональной проекцией точки А, а отрезок АС — ортогональной проекцией наклонной AВ. Ортогональные проекции обладают всеми свойствами обычных параллельных проекций, но имеют и ряд новых свойств.

Перпендикуляр и наклонная

Перпендикуляр и наклонная.

Пусть через точку А, не принадлежащую плоскости p, проведена прямая, перпендикулярная этой плоскости и пересекающая ее в

Слайд 6Свойства ортогональной проекции
Пусть из одной точки к плоскости проведены

перпендикуляр и несколько наклонных. Тогда справедливы следующие утверждения.
1.

Любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.
2. Равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны.
3. Одна наклонная длиннее другой тогда и только тогда, когда ортогональная проекция первой наклонной длиннее ортогональной проекции второй наклонной.
Свойства ортогональной проекции Пусть из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и несколько наклонных. Тогда справедливы следующие

Слайд 7Свойства ортогональной проекции
Доказательство.
Пусть из точки А к плоскости p

проведены перпендикуляр АВ и две наклонные АС и AD; тогда

отрезки ВС и BD — ортогональные проекции этих отрезков на плоскость p.
Докажем первое утверждение: любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость. Рассмотрим, например, наклонную AС и треугольник ABC, образованный перпендикуляром AВ, этой наклонной AС, и ее ортогональной проекцией ВС. Этот треугольник прямоугольный с прямым углом в вершине В и гипотенузой AС, которая, как мы знаем из планиметрии, длиннее каждого из катетов, т.е. и перпендикуляра AВ, и проекции ВС.

Из точки А к плоскости pi проведены перпендикуляр АВ и две наклонные AC и AD.

Свойства ортогональной проекции Доказательство.Пусть из точки А к плоскости p проведены перпендикуляр АВ и две наклонные АС

Слайд 8Свойства ортогональной проекции
Теперь докажем второе утверждение, а именно: равные

наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие

равные проекции, также равны.
Рассмотрим прямоугольные треугольники AВС и ABD. Они имеют общий катет AВ. Если наклонные AС и AD равны, то прямоугольные треугольники AВС и AВD равны по катету и гипотенузе, и тогда BC=BD. Обратно, если равны проекции ВС и BD, то эти же треугольники равны по двум катетам, и тогда у них равны и гипотенузы AС и AD.

Треугольники ABC и ABD равны по катету и гипотенузе.

Свойства ортогональной проекции Теперь докажем второе утверждение, а именно: равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и

Слайд 9Свойства ортогональной проекции
Докажем третье утверждение: одна наклонная длиннее другой

тогда и только тогда, когда ортогональная проекция первой наклонной длиннее

ортогональной проекции второй наклонной. Пусть, например, ВС > BD. Отложим на отрезке ВС точку Е такую, что BD=BE. Тогда и AD=AE. В треугольнике АСЕ угол AEC тупой и поэтому больше угла ACE, следовательно, сторона АС больше стороны АЕ, равной AD.
Обратно, пусть АС > AD. Возможны три случая: a) BC=BD; б) ВС < BD; с) ВС > BD. Если BC=BD, то по доказанному выше в пункте 2, AC=AD, что противоречит условию. Если ВС < BD, как мы только что доказали, АС < AD, что опять противоречит условию. Остается третья возможность: ВС > BD. Теорема доказана.

Если ВС больше BD, то АС больше стороны АЕ, равной AD.

Свойства ортогональной проекции Докажем третье утверждение: одна наклонная длиннее другой тогда и только тогда, когда ортогональная проекция

Слайд 10Расстояние от точки до плоскости
Расстоянием от точки до плоскости

(не проходящей через эту точку) называется длина перпендикуляра, опущенного из

точки на эту плоскость. Из теоремы о свойствах ортогональной проекции следует, что расстояние от точки А до плоскости pi равно наименьшему расстоянию от точки А до точек этой плоскости.
Расстояние от точки до плоскости Расстоянием от точки до плоскости (не проходящей через эту точку) называется длина

Слайд 11Свойство расстояний
от разных точек до плоскости
Замечание 1 (свойство

расстоянии от разных точек до плоскости). Пусть две точки А

и В не принадлежат плоскости pi, а прямая АВ пересекает плоскость pi в точке С. Тогда расстояния от точек А и В до плоскости pi относятся как отрезки АС и ВС:
Свойство расстояний от разных точек до плоскости Замечание 1 (свойство расстоянии от разных точек до плоскости). Пусть

Слайд 12Доказательство:
Рассмотрим два случая. В случае 1 точки А и В

находятся по одну сторону от плоскости pi. Рассмотрим ортогональные проекции

точек А и В на плоскость — точки А1 и B1 соответственно. Тогда прямая A1B1 является ортогональной проекцией прямой AВ и проходит через точку С. В плоскости , проходящей через прямые AВ и А1В1, прямоугольные треугольники AA1С и BB1C подобны, и поэтому их катеты пропорциональны гипотенузам:

Прямоугольные треугольники AA1C и ВВ1С подобны.

Случай 2, когда точки А и В расположены по разную сторону от плоскости, разберите самостоятельно. Замечание 1 доказано.

Доказательство:Рассмотрим два случая. В случае 1 точки А и В находятся по одну сторону от плоскости pi.

Слайд 13Замечание 2 (свойство расстояния от середины отрезка до плоскости).
Пусть расстояния

от точек А и B до плоскости pi равны а

и b соответственно. Тогда расстояние от середины С отрезка АВ до этой плоскости равно:

Свойство расстояния от середины отрезка
до плоскости

Tочки A и B расположены по одну сторону от если точки А и B расположены по одну сторону от плоскости pi

если точки A и B расположены по одну сторону от плоскости pi;

если точки A и B расположены по одну сторону от если точки А и B расположены по разные стороны от
плоскости pi

Замечание 2 (свойство расстояния от середины отрезка до плоскости).Пусть расстояния от точек А и B до плоскости

Слайд 14Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда,

когда она перпендикулярна ее ортогональной проекции.
Доказательство.
Пусть даны плоскость pi, перпендикуляр

АВ на эту плоскость, наклонная АС, и прямая m в плоскости pi. Нам надо доказать два взаимно обратных утверждения. Первое утверждение: если прямая m перпендикулярна наклонной АС, то она перпендикулярна и ее ортогональной проекции ВС. И обратно: если прямая m перпендикулярна ортогональной проекции ВС,
то она перпендикулярна и наклонной АС.

Перпендикуляр АВ к плоскость pi, наклонная АС и прямая т в плоскости pi.

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна ее ортогональной проекции.Доказательство.Пусть даны

Слайд 15Прямая m перпендикулярна плоскости АВС.

Прямая m перпендикулярна плоскости АВС.

Слайд 16Пусть даны плоскость и наклонная прямая. Углом между прямой и

плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на

эту плоскость. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ней и плоскостью считается равным нулю. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ней и плоскостью прямой, т. е. равен 90°.

Угол между наклонной и плоскостью

Угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость.

Пусть даны плоскость и наклонная прямая. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее

Слайд 17Перпендикуляр, наклонная и ее
ортогональная проекция образуют
прямоугольный треугольник.

Перпендикуляр, наклонная и ееортогональная проекция образуютпрямоугольный треугольник.

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика