Применение теоремы Пифагора и пифагоровых троек для решения геометрических задач

Наталья, ученица 9 класса
Руководитель:
Лонская Татьяна Александровна, учитель математики

для быстрого решения геометрических задач.

решения практических задач курса геометрии и задач ЕГЭ типа В

4..
Гипотеза: Мы сможем найти способы быстрого решения геометрических задач и заданий ЕГЭ типа В 4, если будем знать приемы формирования пифагоровых триад и применять таблицы пифагоровых троек.

троек .
2. Описать простые способы формирования пифагоровых троек.
3. Проанализировать возможности

применения теоремы Пифагора, применения полученных знаний о пифагоровых тройках для их практического применения при решении задач.

учебника геометрии 7-9 класса;
методы эмпирического исследования (изучение опыта решения

геометрических задач, нахождение рациональных способов).

(описание простых способов)
описанием опыта применения знаний о пифагоровых тройках;
разработкой

рекомендаций ученикам 8-11 класса при решении задач, материалы исследования могут быть использованы учениками и учителями при преподавании курса геометрии.

— древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев

тройки (x, y, z) натуральных чисел x, y, z, для которых выполняется

равенство

m и n, (m,n)=1, m >n одно из них четное,

а другое нечетное, и формируют триаду (m²- n²; 2mn; m²+ n²) (1)

и b – взаимно простые числа, т. е. (a, b)

= 1 формула (m²- n²; 2mn; m²+ n²) дает все возможные примитивные триады.

Пусть первое число триады (длина одного катета) – нечетное, тогда,

например, для триады
(3; 4; 5) наблюдаем: 3² =4+5,
(5; 12; 13) наблюдаем: 5² =12+13,
(7; 24; 25) - 7² =24+25 и т. д.

его в квадрат и результат представить в виде суммы двух

последовательных чисел; слагаемые будут вторым и третьим членами триады.

Пример: триада (13;84;85), 13² = 84+85 действительно 13² + 84² = 85².

А

триады (3; 4; 5) наблюдаем: 4=2(3+5), для триады (8;15; 17)

8=2(15+17) и т. д. Наблюдения показывают прием подбора:

Взять число, кратное 4, его квадрат разделить на 2 и результат представить как сумму двух последовательных нечетных чисел; слагаемые будут вторым и третьим членами триады.
Пример: (16; 63; 65) 16 ²=2(63+65)

Б

попарно взаимно просты. 
Действительно, если два из них, например x и y имеют простой общий

делитель p, то из равенства (1) следует, что на p делится и третье число z. Это противоречит тому, что тройка – простейшая.
Следствие.  В простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть чётным. 

Свойство 2. В простейшей пифагоровой тройке числа x и y не могут быть одновременно нечётными.

можно получить бесконечное множество подобных ему треугольников со сторонами (kа,

kb, kс) , где k – произвольное натуральное число.

http://mathege.ru/or/ege/ ).

только по рисунку определить отношение противолежащего катета углу А к

прилежащему. tgA= 6/10= 0,6

синус угла это есть отношение сторон треугольника и следовательно стороны

его можно задать как АВ = 8х, ВС (противолежащий катет) = 7х, АС = √15.
По теореме Пифагора,
решая уравнение найдем х = 1 и тогда гипотенуза АВ = 8.

использования той или иной «тройки» является значение синуса, косину и

тангенса, обязательно необходим чертеж для решения заданий.

окружающих нас в повседневной жизни. А умы учёных продолжают искать

новые варианты доказательств теоремы Пифагора.