Презентация по математике на тему:"Треугольники с целочисленными сторонами".

«Треугольники с целочисленными сторонами»





студента 1 курса Кривоногих Константина Алексеевича
группы

1МСХ9
Научный руководитель:
Низамова Гульнара Ахмедовна
Преподаватель математики

выражаются целыми числами. Рациональный треугольник можно определить как треугольник, стороны которого являются

рациональными числами

АКТУАЛЬНОСТЬ:
Результаты, полученные при исследовании целочисленных треугольников будут интересны как специалистам в области элементарной геометрии, так и студентам при поиске нестандартных способов и методов решения задач, связанных с теорией целых чисел

треугольников Пифагора, или из них исходящих, других не существует (задача).

ЗАДАЧИ:
-

рассмотреть основные свойства целых треугольников;
- изучить треугольники Герона, целочисленные треугольники на двумерной решетке;
- рассмотреть целочисленные треугольники со специфичными свойствами углов, с целым отношением радиусов описанного и вписанного окружностей.

стать сторонами треугольника, необходимо лишь удовлетворение неравенства треугольника — самая длинная

сторона должна быть короче суммы двух других сторон. Каждая такая тройка задаёт единственный треугольник. Так что число целочисленных треугольников с периметром p равно числу разбиений p на три положительные части, удовлетворяющие неравенству треугольника. 

с заданной наибольшей стороной c равным числом троек (a, b, c), таких, что a + b > c и a ≤ b ≤ c.

Число целочисленных треугольников с данной наибольшей стороной c, вершины которого лежат на или внутри полуокружности диаметра c, равно числу троек (a, b, c).

а длины стороны равны a, b и c, то поскольку все множители под знаком

корня в правой части формулы являются целыми числами, все целочисленные треугольники должны иметь целочисленное значение величины.


УГЛЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
По теореме косинусов любой угол целочисленного треугольника имеет рациональный косинус. Если углы любого треугольника образуют арифметическую прогрессию, то один из его углов должен быть 60°. 


ДЕЛЕНИЕ СТОРОНЫ ВЫСОТОЙ
Любая высота, опущенная из вершины на противоположную сторону или её продолжение, делит эту сторону (или продолжение) на отрезки рациональной длины.

целочисленными сторонами и целочисленной площадью. Любой геронов треугольник имеет пропорциональные

стороны.
b=m(+)
с=(с+m)(mn-)
Полупериметр = mn(m+n)
Площадь = mnk(m+n)(mn-)
для целых m , n и k , удовлетворяющих условиям
gcd(m,n,k)=1
mn/(2m+n)

целочисленными сторонами и целочисленной площадью имеет стороны в арифметической прогрессии в том

и только в том случае, когда стороны равны ( b – d , b , b + d ), где
b = 2()/g
d = ( - )/g
и где g является наибольшим общим делителем чисел -2mn и +2mn.

Множитель пропорции для треугольников в общем случае является рациональным числом , где q = gcd (a,b,с) сокращает сгенерированный геронов треугольник к примитивному, а растягивает этот примитивный треугольник до требуемого размера

-b = 2mn
Полупериметр = m (m+n)
Площадь = mn (-)
где m и n взаимно простые целые и одно из них чётно, при этом m  >  n .

2. a = (- ) + ( + ), b = 2mn ( + )
c = ( + )2, d = 2mn (- )

Полупериметр = m (m+n) ( + ),
Площадь = mn (-) ( + )2
для взаимно простых чисел m , n с m  >  n .

3. (a,b,c,d) = (xz,yz,,xy).

правильный массив изолированных точек, в которой при выборе одной точки

в качестве начала координат (0, 0) все остальные точки будут иметь вид ( x, y ), где x и y пробегают по всем положительным и отрицательным целым числам.



Следовательно, можно утверждать, что целочисленный треугольник является героновым тогда и только тогда, когда его можно нарисовать на решётке.

треугольников с целочисленными сторонами a,b, c  и рациональной биссектрисой  d угла

A задаётся уравнениями

a = 2( - )
k = (k - m)2
c = (k + m)2
d = с целыми k

в арифметической прогрессии). У всех целочисленных треугольников с углом 60°

углы образуют арифметическую прогрессию. Все такие треугольники подобны.

b = 2mn - c

со взаимно простыми

целыми m , n и с 0 <  n  <  m (угол 60° противоположен стороне длиной a ). Все примитивные решения можно получить, разделив a , b и c на наибольший общий делитель (например, равносторонние треугольники можно получить при m = 2 и n = 1, но это даёт a = b = c = 3, а это не примитивное решение). 

углом 120° можно получить с помощью формулы

b = 2mn

+ c

со взаимно простыми целыми m ,  n и 0 <  n  <  m (угол 120° противоположен стороне длиной a ). Все примитивные решения можно получить, разделив a , b и c на наибольший общий делитель (например, при m = 4 и n = 1 получаем a = 21, b = 9 и c = 15, и это решение не примитивно, но из него можно получить примитивное решение a = 7, b = 3 и c = 5, разделив на 3. Но это же решение можно получить, приняв m = 2 и n = 1).

Герона состоят из двух компонентных треугольников Пифагора, или из них

исходящих, других не существует (задача).

Однако, за исключением тривиального случая равностороннего треугольника, не существует целочисленных треугольников, углы которого образуют геометрическую или гармоническую прогрессии.