Решение геометрических задач при подготовке к ГИА

СОШ № 5
?

ГИА.
Задания: - на множественный выбор;

- с практическим содержанием;
для самостоятельного решения;
- с развёрнутым свободным ответом.
4. Задания третьей части ГИА.
5. Задания ЕГЭ 2009 (В-11).
для самостоятельного решения

Справочные сведения Треугольники

два радиуса или равные диагонали:

d
a R r r
R R R d
a

Примеры прямоугольных треугольников
(вписанный угол опирается на диаметр)

Справочные сведения Правильные многоугольники

свойств, относящих-
ся к равнобедренному треугольнику, используют свойства прямоугольного треугольника,

т. к.
медиана, проведённая к основанию, делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных.

1. Найдите основание равнобедренного треугольника, если оно в 3 раза меньше
боковой стороны, а медиана, проведённая к боковой стороне, равна .

Решение: 1 способ
1) Обозначим АС = х, тогда ВС = 3х, МС = 1,5х.

2) : по теореме косинусов

3) Пусть ВН – высота к основанию АС.

4) Получаем:



- 6 не удовл. смыслу задачи
Отсюда АС = 6.
Ответ: 6.

Треугольники Решение заданий второй части

меньше боковой
стороны, а медиана, проведённая к боковой стороне,

равна .
2 способ: используется приём, позволяющий быстро решать задачи, где речь идёт о медиане.
Медиана АМ продлевается за точку М и на её продолжении откладывается отрезок МD, равный
медиане.
Рассматривается параллелограмм АВDС и используется формула, связывающая его
стороны и диагонали.
Решение:
1) Пусть АС – основание треугольника, АМ – медиана.
Отложим на луче АМ отрезок МD = АМ
Тогда АСВD – параллелограмм, т. к.его диагонали пересекаются
в середине.
2) Обозначим АС = х, АВ = ВС = 3х, тогда по свойству сторон и
диагоналей параллелограмма имеем: ,
или


Ответ: 6.

Треугольники Решение заданий второй части

равнобедренный треугольник. Известно, что синус
угла при основании треугольника равен

. Радиус ОМ пересекает под прямым углом
боковую сторону в точке К. Найдите длину отрезка ОК.
1 способ опирается на свойства вписанных и центральных углов и решение прямоугольных
треугольников.
Решение:
1) Угол при основании равнобедренного треугольника может быть только
острым, значит, центр О с вершиной А лежит по одну сторону от хорды ВС.
Тогда - центральный, соответствующий углу А. Отсюда

2) Δ ВОС – равнобедренный, ОК – высота, проведённая к основанию, тогда ОК – биссектриса угла О, отсюда имеем:

3)

Ответ: 5.

равнобедренный треугольник. Известно, что синус
угла при основании треугольника равен

. Радиус ОМ пересекает под прямым углом
боковую сторону в точке К. Найдите длину отрезка ОК.
Т.к. в ряде случаев первый способ применить бывает невозможно, приведём 2 способ реше-
ния, который использует свойство отрезков хорд.


Решение:

1)

2)
3) Достроим радиус ОМ до диаметра РМ, тогда РМ =26.
Пусть МК = х. По свойству отрезков хорд получим



Ответ:5.

задачах, связанных с вычислением
элементов равнобедренных или прямоугольных треугольников. При

решении задач бывает
полезно отметить на рисунке точки касания и отметить равные отрезки одинаковыми буквами
или чёрточками, используя при этом свойства рассматриваемого треугольника.
3. Окружность с центром О, вписана в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС.
Она касается стороны ВС в точке М, причём отрезок ВМ составляет 0,4 боковой стороны.
Найдите высоту, проведённую к боковой стороне, если АС = 30.
Решение:
1) Обозначим буквой Н точку касания вписанной окружности с основанием.
Так как ΔАВС – равнобедренный, то центр О лежит на высоте к основанию,
т. е. ВН – высота и Н – середина основания.
2) Если считать ВМ = 2х и СМ = 3х, то АВ = ВС = 5х.
По свойству отрезков касательных имеем СН = 3х, 3х = 15, АВ = 25.
3) По теореме Пифагора


4) SАВС =0,5 ВН· АС = 0,5 АВ · h, отсюда h = (20 · 30) : 25 = 24.
Ответ: 24.

отношение площадей
треугольников. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату
отношения сходственных сторон

(или квадрату коэффициента подобия).

Из формулы площади треугольника можно вывести ещё два следствия:
- если треугольники имеют общее основание (или равные основания), то их
площади относятся, как высоты, проведённые к этим основаниям;
- если треугольники имеют общую высоту (или равные высоты), то их площади
относятся, как основания.

что сторона МР = 7, медиана
РА =

, а в треугольнике АРМ сторона АМ – наименьшая. Найдите сторону МК.

Решение:
1)

2)

Т. к. МА – наименьшая сторона в треугольнике АРМ, то α не
может быть тупым, α = .
3) В треугольнике МАР по теореме косинусов:




Ответ: 10.

прямым углом С биссектриса ВК делит катет АС на отрезки

АК = 15 и КС = 12. Найдите площадь треугольника АВК.

Решение:
1) По свойству биссектрисы треугольника
Тогда АВ = 5х, ВС = 4х,




2) (т. к. эти треугольники имеют одну
и ту же высоту ВС).
Значит,

Ответ: 270.

верны.
1) Медиана всегда делит пополам один из углов треугольника.
2) Медиана

проходит через середину стороны треугольника.
3) Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.
4) Точка пересечения медиан произвольного треугольника – центр окружности, описан –
ной около этого треугольника.
5) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в
отношении 2 к 1, считая от вершины.
Ответ: 2), 3), 5).

7. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
1) Биссектриса всегда проходит через середину стороны треугольника.
2) Биссектриса всегда делит пополам один из углов треугольника.
3) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные
двум другим сторонам.
4) Точка пересечения биссектрис произвольного треугольника – центр окружности, вписанной
в этот треугольник.
5) Точка пересечения биссектрис произвольного треугольника – центр окружности, описанной
около этого треугольника.
Ответ: 2), 3), 4).

равносторонний треугольник со сторонами 10 дм, 10 дм и
12

дм. Сколько килограммов краски потребуется, чтобы его покрасить, если на
поверхности расходуется 0,015 кг краски?

Решение:

По формуле Герона получаем:




Расход краски равен 48 · 0,015 = 0,72 (кг)

Ответ: 0, 72.

Природа говорит языком математики:
буквы этого языка – круги, треугольники
и иные математические фигуры.
(Галилей)
Измерение высоты предмета.
1 способ самый лёгкий и самый древний – по тени предмета, использующий:
а) свойства равнобедренного треугольника. Для этого выбирается час, когда длина
тени человека равна его росту; в этот момент высота предмета равна длине отбрасы-
ваемой им тени.

Б) подобие треугольников. Можно пользоваться любой
тенью, любой длины. Измерив свою тень или тень любого
шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции:
АВ : ав = ВС : вс.
(Высота дерева во столько же раз больше вашей собствен-
ной высоты (или шеста), во сколько раз тень дерева длин-
нее вашей (или шеста).

шеста, который надо воткнуть в землю так, чтобы его высота

равнялась вашему росту. Место для шеста надо выбрать так, чтобы, лёжа вы видели
верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. По свойству равно-
бедренного прямоугольного треугольника АВ = ВС, т. е. высоте дерева.

стены равнялась 333 футам.


- Правильно. Так вот: сейчас я построю

два подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом будет отвесный шест, другим – расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же - мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же – мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.

- Понял! – воскликнул юноша. – Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.
- Да. И следовательно, если мы измерим два первых расстояния, то, зная высоту шеста, сможем вычислить четвертый, неизвестный член пропорции, т. е. высоту стены. Мы обойдемся, таким образом, без посредственного измерения этой высоты.
Оба горизонтальных расстояния были измерены: меньшее равнялось 15 футам, большее- 500 футам.

- Да.
- Помнишь свойства подобных треугольников?
- Их сходственные стороны пропорциональны.

Верна, описанный в романе «Таинственный остров»)

Для определения высоты скалы необходимо

взять шест длиной равной росту человека, воткнуть вертикально в землю. Затем отойти от скалы на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было видеть и конец шеста и конец гребня.

В учебнике этот способ рассматривается в п.64 «Практические приложения подобия
треугольников»

использовать способ основанный на равенстве угла падения и
угла отражения

света. Для этого на некотором расстоянии от измеряемого дерева, на ровной земле, в
точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой
наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева.



А















В С D

к измеряемому объекту невозможно подойти вплотную?
А) Задача решается двукратным применением

описанного выше способа – помещение зеркала
высота равна возвышению глаза наблюдателя, умноженному на отношение расстояния между
положениями зеркала к разности расстояний наблюдателя от зеркала.

Б) На прямой, проходящей через основание Н предмета, отмечают точки В и С на определён-
ном расстоянии а друг от друга и измеряют углы АВН и АСВ:
По теореме синусов:






Способ рассматривается в учебнике п.100,
«Измерительные работы».
Задача № 1036, 1038.

одна от другой стоят две сосны. Высота одной 31 м,

другой, молодой – всего 6 м. Можете ли вы определить как велико расстояние между их макушками?

Решение:

По теореме Пифагора расстояние АВ между
верхушками сосен равно







Ответ: 47 м.

отвесного шеста АВ высотою 4,2 м имеет 6,5 длины. Какова

в этот
момент высота Солнца над горизонтом, т. е. как велик угол С?

Решение:









Ответ:

–
ного на рисунке, если рост человека 1,7м, а в резуль-
тате

измерений получено: ВС = 9м, CD = 1,5м.


Решение: В С D
A

E
1.7
B 9 C 1.5 D




Ответ: 10,2 м.

в землю под прямым углом шест М

выше роста наблюдателя на расстоянии от дома. Затем следует
отойти от шеста назад по продолжению до той точки О, с которой
можно увидеть высшую точку М на одной линии с верхней О N
точкой шеста. Далее, стоя на том же месте, необходимо P
отметить на шесте и на доме 2 точки и N, лежащие на горизонтальной прямой.
Определите высоту МР дома, если рост человека

Решение:
1)

подобен по первому признаку
Отсюда следует пропорциональность сторон:

MP = MN + NP = 6 + 1,7 = 7,7 (м).
Ответ: 7,7 м.

= h холма, необходимо с помощью угломерных
инструментов измерить угол α,

под которым видна вершина С холма из точки А, затем
отойти на расстояние АВ = d, находясь в плоскости ACD, и измерить угол β, под которым
видна вершина С. - рост наблюдателя. Найдите высоту холма, если
.

С Решение:

1)
β α как стороны прямоугольников
2)
3)


4) В прямоугольном
5)

Ответ: 88,3м.

Измерение ширины реки
1 способ основан на применении теоремы синусов и теоремы косинусов.
(рассматривается в учебнике, № 1037).
2 способ основан на использовании подобия треугольников
а)(рассматривается в учебнике, № 583).
б) с помощью «прибора» с тремя булавками на вершинах равнобедренного треугольника.
рассматривается в книге Я.И. Перельмана
«Занимательная геометрия»
(гл. 2, «Геометрия у реки»)

участке, необходимо на противополож –
ном берегу выбрать какой – либо

ориентир, например, камень (точка С). Затем на своём берегу
следует найти точку А, так, чтобы отрезок АС был перпендикулярен береговой линии (это
можно сделать с помощью угломерных инструментов). Далее нужно отметить точку В, нахо –
дящуюся на расстоянии АВ = d от точки А и отойти от неё в точку D так, чтобы С, В и D нахо –
дились на одной прямой линии. Затем необходимо отметить точку Е так, чтобы С, А и Е нахо –
дились на одной прямой и отрезок ED был параллелен береговой линии.
6. Найдите ширину реки АС = Н, если АВ = = 24 м, ED = = 30 м, АЕ = h = 4,5 м.

Решение:
по первому признаку подобия
( по построению).
Отсюда



Подставив в формулу числа, данные в условии, получим:
Ответ: 18.

АВ озера, вы нашли по компасу, что прямая АС уклоняется

к западу на , а ВС – к востоку на . Длина ВС = 68 м, АС = 35 м. Вычислить по
этим данным ширину озера.
Решение:
1) В треугольнике АВС:

2) Опускаем высоту АD, имеем



3)



4) Из треугольника АВD имеем:



Ответ: 49 м. (способ предложен в книге Я. И. Перельмана «Занимательная геометрия»)

!? Найдите более простой способ решения задачи.

Нахождение расстояния до недоступной точки
1 способ

основан на применении теоремы синусов и теоремы косинусов. На местности выбираем точку
В и измеряем длину с отрезка АВ. Измеряются углы А и В:

По теореме синусов находим искомое расстояние d:





Способ рассматривается в
учебнике п.100,
«Измерительные работы».
Задача № 1037.

2 способ основан на использовании подобия треугольников
(рассматривается в учебнике, № 582).

работы для проверки состояния более
сложных предметных умений – анализировать

ситуацию, разрабатывать способ
решения, проводить математически грамотные рассуждения.

Характеризуя высокий уровень подготовки по предмету, как правило, выделяют
следующие его качества:
умение выполнять чертёж, соответствующий ситуации, представленной в условии задачи;
прочное владение системой знаний, указанных в школьной программе;
умение обосновывать сделанные выводы ссылкой на теоремы и определения;
умение строить логически верную цепочку доказательных рассуждений, шагов
решения , которые помогают прийти к требуемому выводу;
умение синтезировать информацию из различных разделов курса геометрии для решения поставленной проблемы;
умение математически грамотно записать решение задачи.

АВС биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке М.

Отрезок
МЕ параллелен стороне ВС, отрезок МК параллелен стороне АВ (точки Е и К лежат
на АВ и ВС соответственно). Докажите, что ЕК перпендикулярен ВМ.

Доказательство:
1) Четырёхугольник ВКМЕ – параллелограмм, т. к. МЕ || ВС, МК || АВ.

2) ВМ – диагональ параллелограмма, которая делит его угол пополам,
значит, ВКМЕ – ромб по второму признаку.

3) ЕК – диагональ ромба по свойству ромба,
что и требовалось доказать.

и второй) части
работы, обычно, вызывают две главные причины:

для рационального

решения задачи нужно знать некоторые методы и приёмы решения, которые, либо не рассматриваются при изучении планиметрии, либо тщательно не отрабатываются;

в задачах представлены не самые знакомые конфигурации и для того, чтобы применить известные факты, нужно уметь увидеть отдельные опорные подзадачи.

АВС, если известно, что медиана

, а .
B
Решение:
1) В остроугольном треугольнике АВС основание Н высоты ВН
лежит на стороне АС.
В прямоугольном треугольнике АВН:

2) Через точку М проведём прямую, параллельную прямой ВН и пересекающую сторону
АС в точке N.
Тогда по теореме Фалеса HN =NC.
Значит, отрезок MN является средней линией треугольника ВСН. Откуда имеем:

3) В прямоугольном треугольнике AMN: AN = 5,
Поскольку AN > АН, то HN = AN -AH и HN =1. Поскольку АС =AN + NC, HN = NC, то АС =6.
4)
Ответ: 12.

пересекаются в точке Н, а медианы - в точке М.

Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно,
что АВ = 12, СН = 6.
Решение:
По условию высоты треугольника АВС пересекаются, следовательно,
точка Н их пересечения расположена внутри этого треугольника.
Р 1) Пусть СР – высота, а BL – медиана - основания
перпендикуляров, проведённых из точек Н, К, М к прямой АС.
В прямоугольном треугольнике АРС:

2) В прямоугольном катеты равны:
А
В прямоугольном равнобедренном катеты равны:
(по двум углам), и (по свойству медиан треугольника).
Отсюда
4) Из теоремы Фалеса следует, что отрезок - средняя линия трапеции


5) Поскольку
Ответ: 22,5.

- не удовлетворяет смыслу задачи.


Ответ: