Решение уравнений 3 - ей и 4 - ой степеней в Италии 16 века.

студентка 4 курса
Группы МАТ-141
Гондаревская Анна

решением алгебраических уравнений 3 – ей степени.
Решения линейных и

квадратных уравнений были известны еще в античности, а кубические уравнения долго не поддавались.

внесли итальянские математики 16 века:
Спицион Даль Ферро (1465-1526) и его

ученик Фиори
Н. Тарталья (1499-1557)
Д. Кардано (1501-1576) его ученик – Л. Феррари
Р. Бомбелли (1530-1572)

результате своих изысканий открыл комплексные числа.

кубические уравнения – Тартальей. Тартилья рассказал ему способ решения уравнений,

но попросил не публиковать его, поскольку данный способ помогал Тартилье побеждать на «математических дуэлях».

формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней.
Рассмотрим произвольное

кубическое уравнение:

И покажем, что с помощью подстановки его можно преобразить к виду:
Пусть
Получим:


Положим т.е. Тогда данное уравнение

примет вид

форме диспута. Математики предлагали друг другу определенное число задач, которые

нужно было решить к началу поединка. Выигрывал тот, кто решил большее число задач.
Антонио Фиоре постоянно участвовал в турнирах и всегда выигрывал, так как владел формулой для решения кубических уравнений. Победитель получал денежное вознаграждение, ему предлагали почетные, высоко оплачиваемые должности.

с Фиоре он получил от противника 30 задач, увидев,что все

они сводятся к кубическому уравнению

И приложил все силы для его решения. Отыскав формулу, Тарталья решил все задачи, предложенные ему Фиоре, и выиграл турнир. Через день после поединка он нашел формулу для решения уравнения

Это было величайшее открытие. После того как в Древнем Вавилоне была найдена формула для решения квадратных равнений, выдающиеся математики в течение двух тысячелетий безуспешно пытались найти формулу для решений кубических уравнений. Метод решения Тарталья держал втайне.
Рассмотрим уравнение
Тарталья использовал подстановку:

они являются корнями квадратного уравнения


Следовательно, для отыскания х имеем формулу

опубликована в 1545 г. в книге Кардано «Великое искусство, или

Об алгебраических правилах».
Джироламо Кардано (1501-1576) окончил университет в Падуе. Его главным занятием была медицина. Кроме того, он занимался философией, математикой, астрологией, составлял гороскопы Петрарки, Лютера, Христа, английского короля Эдуарда 6. Папа римский пользовался услугами Кардано - астролога и покровительствовал ему. Кардано умер в Риме. Существует легенда, что он покончил жизнь самоубийством в тот день, который предсказал, составляя собственный гороскоп, как день своей смерти.

подстановки

его можно привести к виду

Используя метод дополнения до полного квадрата, запишем:

Феррари ввел параметр и получил:

Отсюда

Учитывая, получим

В левой части уравнения стоит полный квадрат, а в правой - квадратный трехчлен относительно х. Чтобы правая часть была полным квадратом, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена равнялся нулю.

- корень уравнения. Тогда уравнение запишется в виде

Отсюда получаем два квадратных уравнения:

Они дают четыре корня исходного уравнения.

-корень этого уравнения.
Естественно считать, что, используя формулу

Кардано, мы найдем этот корень. Проведем вычисления, учитывая, что
По формуле находим:
Как понять выражение На этот вопрос первым ответил инженер Рафаэль Бомбелли (ок. 1526-1573), работавший в Болонье В 1572 г. он издал книгу «Алгебра», в которую ввел в математику число i, такое, что
Бомбелли сформулировал правила операций с числом


Согласно теории Бомбелли, выражение можно записать так:
А корень уравнения, имеющий вид, можно записать так: