Разделы презентаций


Симметрические системы уравнений презентация, доклад

Содержание

Оглавление 1. Введение2. Понятие симметрии, её основные виды3. Решение задач при помощи симметрии4. Симметрические системы5. Способы решения симметрических систем. Метод замены переменных6. Теоремы, используемые при решении симметрических систем7. Заключение8. Список используемой

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Симметрические системы уравнений
Автор: Гончаровская Алина
учащаяся 11 класса
МОУ Рощинской СОШ
«Образовательный

центр»

Руководитель: Пятовская Людмила Петровна – учитель математики высшей категории
2008-2009

учебный год
Симметрические системы уравненийАвтор: Гончаровская Алина учащаяся 11 классаМОУ Рощинской СОШ«Образовательный центр» Руководитель: Пятовская Людмила Петровна – учитель

Слайд 2Оглавление
1. Введение
2. Понятие симметрии, её основные виды
3. Решение задач при

помощи симметрии
4. Симметрические системы
5. Способы решения симметрических систем. Метод замены

переменных
6. Теоремы, используемые при решении симметрических систем
7. Заключение
8. Список используемой литературы
Оглавление 1. Введение2. Понятие симметрии, её основные виды3. Решение задач при помощи симметрии4. Симметрические системы5. Способы решения

Слайд 3Введение
Проблема моего проекта заключается в том, что для успешной сдачи

ЕГЭ требуется умение решать различные системы уравнений, а в курсе

средней школы им отведено недостаточно времени, необходимого познать этот вопрос глубже.
Цель работы: подготовиться к успешной сдачи ЕГЭ.
Задачи работы:
Расширить свои знания в области математики, связанные с понятием «симметрия».
Повысить свою математическую культуру, используя понятие «симметрия» при решении систем уравнений, называемых симметрическими, а также других задач математики.


ВведениеПроблема моего проекта заключается в том, что для успешной сдачи ЕГЭ требуется умение решать различные системы уравнений,

Слайд 4Понятие симметрии.
Симме́три́я — (др.-греч. συμμετρία), в широком смысле — неизменность при

каких-либо преобразованиях. Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид

тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы. Двусторонняя симметрия означает, что право и лево относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.
Понятие симметрии. Симме́три́я — (др.-греч. συμμετρία), в широком смысле — неизменность при каких-либо преобразованиях. Так, например, сферическая симметрия тела

Слайд 5Симметрия бывает:
двусторонняя;
симметрия n-порядка; 
аксиальная;
сферическая;
трансляционная


Симметрия бывает:двусторонняя;симметрия n-порядка;  аксиальная; сферическая; трансляционная

Слайд 6Решение задач при помощи симметрии. Задача №1
Двое

по очереди кладут одинаковые монеты на круглый стол, причём монеты

не должны накрывать друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Иначе говоря, у какого из игроков есть выигрышная стратегия?)

Решение. При правильной игре выигрывает тот, кто начинает - первый игрок. Вот его стратегия. Первым ходом он кладёт монету в центр стола. Затем после каждого хода второго первый кладёт монету симметрично монете, только что положенной вторым, относительно центра стола (рис. 1). Очевидно, если возможен очередной ход второго игрока, то возможен и симметричный ему ответный ход первого. Следовательно, первый игрок побеждает.

Решение задач при помощи симметрии.  Задача №1   Двое по очереди кладут одинаковые монеты на

Слайд 7Задача №2
На плоскости дана прямая l и точки

A и B по одну сторону от неё. Нужно найти

на прямой такую точку C, чтобы сумма длин отрезков AC и BC была минимальна.

Решение. Построим точку A', симметричную A относительно прямой l. Заметим, что для любой точки C, лежащей на прямой l, AC=A'C. Поэтому
AC+BC=A'C+BC.
В силу неравенства треугольника сумма A'C+BC минимальна тогда и только тогда, когда точка C лежит на отрезке A'B (рис. 2). Итак, C=A'B l.

Задача №2  На плоскости дана прямая l и точки A и B по одну сторону от

Слайд 8Задача №3
На плоскости дан правильный n-угольник A1A2... An,

точка O - его центр (рис. 3). Найти вектор .
Решение.

Введём обозначения: φ= A1OA2, - поворот на угол φ с центром в точке O (т. е. есть вектор, полученный из вектора указанным поворотом). Тогда, поскольку многоугольник A1A2... An правильный,

Как известно, сложение векторов и поворот перестановочны: если сумму нескольких векторов повернуть на угол φ и, наоборот, каждый из векторов-слагаемых повернуть на тот же угол, а затем сложить, результат будет один и тот же. Кроме того, сумма векторов не зависит от их порядка. Поэтому:

Итак, вектор не меняется при повороте на угол 0o<φ <360o. Значит, = .

Задача №3  На плоскости дан правильный n-угольник A1A2... An, точка O - его центр (рис. 3).

Слайд 9Задача №4
При каких a и b система уравнений
имеет ровно

одно решение?
Если тройка чисел (x0,y0,z0 ) - решение системы,

то решениями будут и тройки, полученные из неё всевозможными перестановками: (x0 ,z0 ,y0 ),
(y0 ,x0 ,z0 ), (y0 ,z0 ,x0 ), (z0 ,x0 ,y0 ), (z0 ,y0 ,x0 ). Решение может быть единственным только в том случае, когда x0 =y0 =z0 . Из первого уравнения
х0 =y0 =z 0=1. Подставляя эти значения x, y и z во второе и третье уравнения, получаем, что a=b=3. Осталось только проверить, что при этих a и b у системы действительно нет других решений, кроме (1,1,1).


Задача №4При каких a и b система уравнений имеет ровно одно решение? Если тройка чисел (x0,y0,z0 )

Слайд 10Последняя задача и является примером симметрической системы.

Функция f (x;y) называется

симметрической, если для всех x и y выполнено равенство
Например: Многочлен

от двух переменных вида f(x,y) = 3x 2 – 2xy + 3y 2+ 15является симметрической функцией. В самом деле,
Последняя задача и является примером симметрической системы.Функция f (x;y) называется симметрической, если для всех x и y

Слайд 11Примеры симметрических функций:
u = x +y;
u = 2x 2 -3xy+2y

2 ,
v = xy;
u = x 2 + y 2

;


Примеры симметрических функций:u = x +y;u = 2x 2 -3xy+2y 2 ,v = xy;u = x 2

Слайд 12Способы решения симметрических систем.
Симметрические системы можно решать методом замены переменных,

в роли которых выступают основные симметрические многочлены. Симметрическая система двух

уравнений с двумя неизвестными х и у решается подстановкой u = х + у , v = ху.

х 2 + у 2 = (х + у) 2 - 2ху = u 2 - 2v,
х 3 + у 3 = (х + у)(х 2 -ху + у 2) = u (u 2- 2v – v) = u 3 - 3uv,
х4 + у 4 = (х 2 + у 2)2 - 2х 2у 2 = (u 2 - 2v) 2 - 2v 2 = u 4 - 4u 2v + 2v 2,
х 2 + ху + у 2 = u 2 - 2v + v = u 2 - v и т.д.

Способы решения симметрических систем.Симметрические системы можно решать методом замены переменных, в роли которых выступают основные симметрические многочлены.

Слайд 13Пример №1:
х 2+ ху + у 2 =13,
х

+ у = 4;
Пусть х + у = u, ху

= v.

u 2 – v = 13,
u = 4;

16 – v = 13,
u = 4;

v = 3,
u = 4;





Произведем обратную замену.
х + у = 4,
ху = 3;
х = 4 – у
ху = 3;
х = 4 – у,
(4 – у) у = 3;
х = 4 – у,
у 1 = 3; у 2= 1;
х 1 = 1, х 2 = 3,
у 1 = 3, у 2 = 1.

Ответ: (1; 3); (3; 1).






Пример №1: х 2+ ху + у 2 =13, х + у = 4;Пусть х + у

Слайд 14Пример №2
3 х 2у – 2ху + 3ху 2 =

78,
2х – 3ху + 2у + 8 = 0

С помощью

основных симметрических многочленов система может записана в следующем виде
3uv – 2v = 78,
2u – 3v = -8.
Выражая из второго уравнения u = и подставляя его в первое уравнение, получим 9v2– 28v – 156 = 0. Корни этого уравнения v 1 = 6 и v 2 = - позволяют найти соответствующие им значения u1 = 5, u2= - из
выражения u = .







Пример №23 х 2у – 2ху + 3ху 2 = 78,2х – 3ху + 2у + 8

Слайд 15Решим теперь следующую совокупность систем

х

+ у = 5, и

х + у = - ,
ху = 6 ху = - .

х = 5 – у, и у = -х - ,
ху = 6 ху = - .
х = 5 – у, и у = -х - ,
у (5 – у) = 6 х (-х - ) = - .
х = 5 – у, и у = -х - ,
у 1= 3, у 2 =2 х 1 = , х 2 = -
х 1 = 2, х 2 = 3, и х 1 = , х 2 = -
у 1= 3, у 2 =2 у 1 = - , у 2=
Ответ: (2; 3), (3; 2), ( ; - ), (- ; ).





























Решим теперь следующую совокупность систем    х + у = 5,   и

Слайд 16Пример №3:
Решение:
Возведем второе уравнение в куб, получим:
Таким образом,

по теореме Виета,
и
являются корнями квадратного
уравнения
Отсюда
и
Значит,
Заметим, что мы

нашли один из корней уравнения

Ответ:


Пример №3:Решение: Возведем второе уравнение в куб, получим: Таким образом, по теореме Виета, иявляются корнями квадратногоуравненияОтсюда иЗначит,

Слайд 17Теоремы, используемые при решении симметрических систем.
Теорема 1.  (о симметрических многочленах)
Любой

симметрический многочлен от двух переменных представим в виде функции от

двух основных симметрических многочленов


Другими словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция двух переменных φ (u, v), что
Теоремы, используемые при решении симметрических систем.Теорема 1.  (о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен от двух переменных представим в

Слайд 18Теорема 2.  (о симметрических многочленах)

Любой симметрический многочлен от трёх переменных

представим в виде функции от трёх основных симметрических многочленов:




Другими

словами, для любого симметрического многочлена f (x, y) существует такая функция трёх переменных θ (u, v, w), что
Теорема 2.  (о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен от трёх переменных представим в виде функции от трёх основных

Слайд 19Более сложные симметрические системы – системы, содержащие модуль:
| x –

y | + y2 = 3,
| x – 1 |

+ | y – 1 | = 2.
Рассмотрим данную систему отдельно при х < 1 и при х ≥ 1.
Если х < 1, то:
а) при у < х система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
- х + 1 – у + 1 = 2,
или
х – у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;




Более сложные симметрические системы – системы, содержащие модуль:| x – y | + y2 = 3,| x

Слайд 20б) при х ≤ у < 1 система принимает вид


- х + у + у 2 = 3,

- х + 1 – у + 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х + у = 0,
откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1.
Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;
в) при у ≥ 1 (тогда у > х) система принимает вид
- х + у + у 2 = 3,
- х + 1 + у – 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х – у = - 2,
откуда находим х 1 = - 3, у 1 = - 1, х 2 = - 1, у 2 = 1. Вторая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. е. является решением данной системы.





б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2

Слайд 21Если х ≥ 1, то:
а) х > у и у

< 1 система принимает вид
х – у + у 2

= 3,
х – 1 – у = 1 = 2,
или
х – у + у 2= 3,
х – у = 2,
откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы;
б) при х > у и у ≥ 1 система принимает вид
х – у + у 2 = 3,
х – 1 + у – 1 = 2,
или
х – у + у 2 = 3,
х + у = 4,
откуда находим х = 1, у = 3. Эта пара чисел не принадлежит рассматриваемой области;





Если х ≥ 1, то:а) х > у и у < 1 система принимает видх – у

Слайд 22в) при х ≤ у (тогда у ≥ 1) система

принимает вид
- х + у + у 2 =

3,
х – 1 + у – 1 = 2,
или
- х + у + у 2 = 3,
х + у = 4,
откуда находим х 1 = 5 + √8, у 1 = - 1 - √8;
х 2 = 5 - √8, у 2 = - 1 + √8. Эти пары чисел не принадлежат рассматриваемой области.
Таким образом, х 1 = - 1, у 1 = 1; х 2 = 1, у 2 = - 1.
Ответ: ( - 1; 1); ( 1; - 1).




в) при х ≤ у (тогда у ≥ 1) система принимает вид - х + у +

Слайд 23Заключение
Математика развивает мышление человека, учит посредством логики находить разные пути

решения. Так, научившись решать симметрические системы, я поняла, что использовать

их можно не только для выполнения конкретных примеров, но я для решения разного рода задач.
Я думаю, что проект может принести пользу не только мне. Для тех, кто так же захочет ознакомиться с этой темой, моя работа будет являться хорошим помощником.
ЗаключениеМатематика развивает мышление человека, учит посредством логики находить разные пути решения. Так, научившись решать симметрические системы, я

Слайд 24Список используемой литературы:
Башмаков М. И., «Алгебра и начала анализа», 2-е

издание, Москва, «Просвещение», 1992, 350 стр.
Рудченко П. А., Яремчук Ф.

П., «Алгебра и элементарные функции», справочник; издание третье, переработанное и дополненное; Киев, Наукова, Думка, 1987, 648 стр.
Шарыгин И. Ф., « Математика для школьников старших классов», Москва, издательский дом «Дрофа», 1995, 490 стр.
Интернет-ресурсы: http://www.college.ru/
Список используемой литературы:Башмаков М. И., «Алгебра и начала анализа», 2-е издание, Москва, «Просвещение», 1992, 350 стр.Рудченко П.

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика