Теорема о трёх перпендикулярах, её применение при решении задач

МОУ-СОШ с. Староселье Унечского района Брянской области Барсукова Зинаида Александровна

в различных ситуациях: при решении задач на доказательство или задач,

требующих найти численное (или буквенное значение) какого-либо элемента .
учиться умению читать чертеж,
учить умению объяснять, комментировать выполняемое упражнение в виде цельного связного рассказа.

ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ :

способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания,
развитие навыков исследовательской деятельности (планирование, выдвижение гипотез, анализ, обобщение).

РАЗВИВАЮЩАЯ :

развивать у учащихся коммуникативные компетенции,
способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

ЦЕЛЬ УРОКА

на практике.
Y. Осмысление содержания и последовательности применения практических действий при

выполнении предстоящих заданий

YI. Самостоятельное выполнение учащимися заданий под контролем учителя

YII. Подведение итогов.

YIII. Домашнее задание.

Дерзай !!!

II.

весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. ЕСТЬ ИСТИНЫ, как страны, НАИБОЛЕЕ

УДОБНЫЙ ПУТЬ К КОТОРЫМ СТАНОВИТСЯ ИЗВЕСТНЫМ ЛИШЬ ПОСЛЕ ТОГО, КАК МЫ ИСПРОБУЕМ ВСЕ ПУТИ. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь... НА ПУТИ К ИСТИНЕ МЫ ПОЧТИ ВСЕГДА ОБРЕЧЕНЫ СОВЕРШАТЬ ОШИБКИ» (Дени Дидро).

ЭПИГРАФ К УРОКУ

Denis Diderot

1713 - 1784

Екатерина II

такие прямые?
Ответ: перпендикулярные.
2. Верно ли утверждение: «прямая называется перпендикулярной плоскости, если

она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей этой плоскости»
Ответ: да.
3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Ответ: если пряма перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

как длина перпендикуляра, проведённого из точки к данной прямой.
5. По

рисунку назовите:
перпендикуляр, основание
перпендикуляра, наклонную к
плоскости α, основание
наклонной и её проекцию на
плоскость α.
6. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.

α

K

D

P

перпендикулярно к её проекции на эту
плоскость, перпендикулярна и к самой

наклонной
Обратно: прямая, проведённая в плоскости через
основание наклонной перпендикулярно к ней
перпендикулярна и к её проекции.

┴ с , АВ ┴ α.
Доказать: АС ┴ с.
Доказательство.
1.Проведем СА1

┴ с .
2.СА1||АВ по теореме.(Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны).
3.Проведем через АВ и СА1 плоскость β.
4.с ┴ СА, с ┴ ВС (по Теореме: «Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости».),с ┴ β, значит,
с ┴АС.

наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Доказательство:

Пусть t ┴ ОА. Допустим, что SA не перпендикулярна прямой t. Проведем SB ┴ t, тогда SA> SB. Из прямоугольных треугольников SOA и SOB:
Получаем: ОА>OB. Между тем ОА < OB, так как ОА ┴ t по условию. К данному противоречию нас привело предположение, что SA не перпендикулярна прямой t. Значит, SA┴ t.

S

точки А отложим равные отрезки: АМ= АN. Точки М и

N соединим с точками O и S. В ОА есть одновременно высота и медиана, этот треугольник равнобедренный: ОМ = ОN. Прямоугольные треугольники OSM и OSN равны (по двум катетам). Из их равенства следует, что SM= SN и SA- медиана равнобедренного треугольника MSN. Значит, SA одновременно и высота этого треугольника, т. е. SA┴MN.

произвольную точку В и соединим ее с точками О и

S. Из прямоугольных треугольников SOB, SOA и AOB: = SO2+ OB2, SA2 = =SO2+ OA2, OB2- OA2= AB2. Вычтя из первого равенства второе, получим:SB2 – SA2 = =OB2 – OA2. Приняв во внимание третье равенство, будем иметь: SB2 – SA2 = AB2, SB2 = SA2 +AB2. Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, SA┴AB, т. е. t┴SA.

перпендикулярных векторов равно нулю:

Но и

не нулевые векторы, значит, , прямая оказалась перпендикулярной наклонной, что и требовалось доказать.

диагонали параллельных граней?








Ответ: А1ВСD1 - прямоугольник

куба.

АВС. Известно, что BD = 9 см,
АС

= 10 см, ВС = ВА = 13 см.
Найдите: а) расстояние от точки D до прямой АС; б) площадь треугольника ACD.

Думай

Д

У

М

А

Й

!

!

!

перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до

прямы, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см, угол BAD равен 60 градусам, ВМ = 12,5 см.

Р

Е

Ш

А

Й

!!!

Докажите, что если угол АВС равен углу ABD, причем угол

АВС меньше 90 градусов, то проекцией луча ВА на плоскость CBD является биссектриса угла CBD.

о

трех

перпендикуляра х -

это

. . .

Теорема

прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны).
Может ли прямая, перпендикулярная к

плоскости, скрещиваться с прямой, лежащей в этой плоскости (прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)?
Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости (она перпендикулярна к двум прямым, параллельным этой плоскости)?
Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости)?

к плоскости двух других прямых (две прямые в пространстве, перпендикулярные

к третьей прямой, параллельны)?
Могут ли пересекаться две плоскости, перпендикулярные к одной прямой ( прямая а и плоскость, перпендикулярные к одной прямой с)?
Верно ли, что длина перпендикуляра меньше длины наклонной, проведенной из той же точки (длина перпендикуляра меньше длины проекции наклонной, проведенной из той же точки)?

правильных ответов – «3»

SC =10 см; СМ =5 см –медиана.
Найти: SM (расстояние от

точки S до плоскости (АВС)).
II уровень ( на «4»)
Дано: ABCD – прямоугольник; АК ┴ (АВС), KD= 6 см, КВ = = 7 см, КС = 9 см.
Найти: расстояние от точки К до (АВС).
III уровень.( на «5»)
Дано: АВ = 17 см, АС = 15 см, ВС = 8 см, АМ ┴ (АВС),
<А – меньший,
АМ = 20 см.
Найти: МЕ.

?
Ответ обоснуйте.



D
A
B
C

19, 20.
3. Дополнительная задача: Через сторону AD ромба ABCD проведена

плоскость α. Найдите расстояние от прямой ВС до плоскости α, если площадь ромба равна 80 ,высота – 8 см, а угол между проекцией стороны CD и прямой AD равен 45 градусов.

Дальнейших
успехов !!!

СПАСИБО!