Геометрические фигуры в искусстве

сечение» в живописи и архитектуре-9
5. Геометрия в живописи-10
5.2. Геометрические стили

в живописи-11
Основные выводы-14
Заключение-15

формы тел в пространстве. Постепенно из геометрии выделилась математика как

наука. Люди издавна применяли знания геометрии в обыденной жизни. Геометрия – наука, позволившая людям вычислять
площади и объемы, правильно выполнять чертежи проектов зданий и сооружений. Поэтому,
она является основной частью «фундамента», на котором строится другое, не менее важное
направление деятельности человека – искусство. Немаловажную роль играли и эстетические
потребности людей: желание украсть свои жилища и одежду, запечатлеть окружающую жизнь
в картинах. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений.
Искусство - это образное осмысление действительности, процесс или итог выражения
внутреннего или внешнего мира в художественном образе.
Архитектура (зодчество) - это искусство и наука строить, проектировать здания и сооружения, а также сама совокупность зданий и сооружений, создающих пространственную среду
для жизни и деятельности человека. Архитектурные работы часто воспринимаются как произведения искусства.

искусство
неразрывно связаны. И для геометрии и для искусства, характерными являются

красота и гармония. С самых древних времен в основе творений людей лежат правильные геометрические 3
фигуры - квадрат, круг, пирамида и т.д. Симметрическим, правильным фигурам отдается пред-
почтение. При создании произведений искусства использовались различные пропорции. Все
вышесказанное подчеркивает актуальность нашей темы.
Актуальность нашего исследования состоит в том, что архитектурные объекты, произведения искусства являются неотъемлемой частью нашей жизни. Наше настроение, мироощущение зависит от того, что нас окружает. Геометрия при этом играет одну из главных ролей.
Цель работы заключается в том, чтобы показать взаимосвязь геометрии с архитектурой и искусством. Рассмотреть искусство с точки зрения геометрии, симметрии, перспективы,
золотого сечения и различных стилей, выявить взаимосвязь геометрии с искусством.

историю возникновения и развития геометрии;
? Ознакомится с сущностью геометрических законов,

пропорций и их использования в архитектуре и живописи;
? Рассмотреть использование геометрических форм в различных стилях искусства.
? Выявить взаимосвязь свойств архитектурных сооужений и изобразительного искусства с геометрическими формами.
Гипотеза: геометрия и искусство постоянно взаимодействуют друг с другом.
Объектом исследования данной работы является геометрия в искусстве и архитектуре.
Предметом изучения являются способы геометрических построений в архитектуре и
искусстве.
Методы исследования: изучение литературы, теоретический анализ.

играла форма окружавших их предметов. Уже 200
тысяч лет тому назад

были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической фор-
мы. Геометрические фигуры пока еще не имели названия. Начав строить дома, пришлось глубже разобраться в том, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны
быть бревна или материалы для строительства. Даже не подозревая, люди все время занимались
геометрией: женщины, изготавливая одежду, охотники, изготавливая наконечники для копий
или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не
срывалась.4
Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись катки. И заметили, что перекатка проще, если взять кусок дерева с
почти одинаковой толщиной в начале и в конце. Так люди познакомились с одним из важнейших тел - цилиндром. Скалками цилиндрической формы пользовались и женщины, раскатывая
белье после стирки.
Перевозить грузы на катках было довольно тяжело, потому что сами древесные стволы
весили много. Чтобы облегчить работу, стали вырезать из стволов тонкие круглые пластинки и
с их помощью перетаскивать грузы. Так появилось первое колесо.
Конечно не только в процессе работы знакомились люди с геометрическим фигурами.
Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище.
Для того чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару
необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или
иное количество жидкости. Так практическая деятельность людей привела к дальнейшему
углублению знаний о формах фигур, развитию геометрии. Люди стали учиться измерять и
площади, и объемы, и длины и т.д.
Древние египтяне были замечательными инженерами. До сих пор не могут до конца раз-
гадать загадки огромных гробниц Египетских царей - Фараонов. Пирамиды состоят из каменных блоков весом 15 тонн, и эти «кирпичики» так подогнаны друг к другу, что не возможно
между ними протиснуть и почтовую открытку. А при строительстве использовали лишь простейшие механизмы - рычаги и катки. В Вавилоне при раскопках ученые обнаружили остатки
каменных стен, высотой в несколько десятков метров, а высота Вавилонской башни достигает
82 метра.
Без математических знаний все эти сооружения невозможно было бы построить. И все
же математические знания египтян и вавилонян были разрозненные и представляли собой свод
правил, проверенных практикой. Почти все великие ученые древности и средних веков были
выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: «Не знающие геометрии не допускаются!»
Начиная с 7 века до н. э. в Древней Греции создаются так называемые философские
школы, происходит постепенный переход от практической к теоретической геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, при помощи которых удаётся получать
новые геометрические свойства.
Одной из самых известных школ того времени (4-5 вв.до н.э.) являлась пифагорейская,
названная так в честь своего основателя- Пифагора. Другой знаменитый философской школой 5
того времени была школа Платона (5-6 вв. до н. э.). Более поздняя философская школа - александрийская - интересна тем, что дала миру известного математика Евклида, который жил около 300 года до н. э.
Помимо Евклида выдающимся учёным эпохи эллинизма был Архимед (287 -212гг. до н.
э.), живший в Сиракузах, где он был советником царя Герона. Архимед был уникальным учёным - механиком, физиком, математиком. Основной чертой его творчества было единство теории и практики.

их площадь. Гончару
необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду,

чтобы в него входило то или
иное количество жидкости. Так практическая деятельность людей привела к дальнейшему
углублению знаний о формах фигур, развитию геометрии. Люди стали учиться измерять и
площади, и объемы, и длины и т.д.
Древние египтяне были замечательными инженерами. До сих пор не могут до конца раз-
гадать загадки огромных гробниц Египетских царей - Фараонов. Пирамиды состоят из каменных блоков весом 15 тонн, и эти «кирпичики» так подогнаны друг к другу, что не возможно
между ними протиснуть и почтовую открытку. А при строительстве использовали лишь простейшие механизмы - рычаги и катки. В Вавилоне при раскопках ученые обнаружили остатки
каменных стен, высотой в несколько десятков метров, а высота Вавилонской башни достигает
82 метра.
Без математических знаний все эти сооружения невозможно было бы построить. И все
же математические знания египтян и вавилонян были разрозненные и представляли собой свод
правил, проверенных практикой. Почти все великие ученые древности и средних веков были
выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: «Не знающие геометрии не допускаются!»
Начиная с 7 века до н. э. в Древней Греции создаются так называемые философские
школы, происходит постепенный переход от практической к теоретической геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, при помощи которых удаётся получать
новые геометрические свойства.
Одной из самых известных школ того времени (4-5 вв.до н.э.) являлась пифагорейская,
названная так в честь своего основателя- Пифагора. Другой знаменитый философской школой 5
того времени была школа Платона (5-6 вв. до н. э.). Более поздняя философская школа - александрийская - интересна тем, что дала миру известного математика Евклида, который жил около 300 года до н. э.
Помимо Евклида выдающимся учёным эпохи эллинизма был Архимед (287 -212гг. до н.
э.), живший в Сиракузах, где он был советником царя Герона. Архимед был уникальным учёным - механиком, физиком, математиком. Основной чертой его творчества было единство теории и практики

строительной конструкции, но и в самой конструкции природы. Повторяющийся, регулярный

порядок взаимного расположения объектов и
явлений в пространстве и во времени лежит в основе закономерностей строения материи, всего
течения нашей жизни. Упорядоченность расположения в пространстве самым тесным образом
связана с повторяемостью событий во времени.
Биение сердца, мерный ритм ударов, отбиваемых метрономом, наконец, музыка - сложное чередования звуков во времени. Все это примеры динамического временного ритма.
Симметрия широко распространена в природе, она отражает ту самую упорядоченную
повторяемость физического мира, о которой говорилось выше. Симметрия господствует в за-
стывшем мире кристаллов и в непрерывно меняющемся мире живого. Симметрична не только
снежинка, но и лист, и цветок яблони. Симметричен, в конце концов, и сам человек. Неудивительно, что человек издавна переносит представления о симметрии на многие творения своих
рук и своего духа, прежде всего на произведения искусства и ремесел. Пространственная сим-
метрия подчиняет себе большую часть предметного мира, создаваемого человеком. Мебель,
одежда, домашняя утварь, орудия труда и украшения — все несет на себе неизгладимую печать
симметрии.
Принцип "симметрии" широко используется в искусстве. Бордюры, используемые в архитектурных и скульптурных произведениях, орнаменты, используемы в прикладном искусстве, - все это примеры использования симметрии. Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. Композиции,
построенные по законам симметрии, позволяют достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий.
Зеркальная симметрия или отражение — это тип симметрии при котором любая точка
переходит в симметричную ей точку, относительно плоскости симметрии фигуры. Название 6
"зеркальная симметрия" оправдано тем, что обе части фигуры, находящиеся по разные стороны
от оси симметрии или плоскости симметрии, похожи на некоторый объект и его отражение в
зеркале. Например, цилиндр и конус симметричны относительно любой плоскости, проходящей
через их ось, а куб симметричен относительно плоскости, проходящей через его диагональ.
Данный вид симметрии ярко проявляется архитектуре и искусстве. Ей подчинены по-
стройки Древнего Египта и храмы античной Греции, амфитеатры, термы, базилики и триумфальные арки римлян, дворцы и церкви Ренессанса, равно как и многочисленные сооружения
современной архитектуры. Симметрия сооружения связывается с организацией его функций.
Симметрия объединяет композицию. Зеркальная симметрия широко встречается в произведениях искусства примитивных цивилизаций и в древней живописи. Средневековые религиозные
картины также характеризуются этим видом симметрии.
Лучевая (центрально - осевая, радиальная, поворотная) симметрия — форма симметрии, при которой тело (или фигура) совпадает само с собой при вращении объекта вокруг определённой точки или прямой. Радиальной симметрией обладают такие геометрические объекты,
как круг, шар, цилиндр или конус. Лучевая симметрия господствует в декоративном искусстве:
прикладном (вышивке, росписи, резьбе, чеканке) и монументальной, связанной с архитектурой
(в витражах, мозаике, рельефах и пр.). Здесь она проявляется как ни в каком другом виде искусства. Свидетельства тому – художественные изделия и памятники зодчества, созданные разны-
ми народами в разные эпохи. Поворотная симметрия чётко прослеживается в круглом и круговом орнаментах, которыми украшают одежду и предметы быта, фасады и интерьеры домов и
других зданий.
Наиболее наглядное проявление пространственной симметрии в искусстве — орнамент.
Орнамент - узор, состоящий из ритмически повторяющихся элементов для украшения каких-
либо предметов или архитектурных построек. Орнамент очень часто встречается в вышивке, в
резьбе по дереву, в архитектуре, даже в природе можно встретить орнамент.
Особый вид симметрии — трансляция, или параллельный перенос. Это повторяемость
одного и того же изображения в пространстве через определенное расстояние. Такова сим-
метрия паркетного пола, кирпичного мощения, узора на обоях. Параллельный перенос нашел
отражение в архитектурных сооружениях, живописи.

в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Бесконечный

ряд после запятой — 1,6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому.7
Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так
относится к большей, как большая ко всей величине, или другими словами, меньший отрезок
так относится к большему, как больший ко всему a : b= b : c или с : b= b : а. Отношение частей в
этой пропорции выражается квадратичной иррациональностью ?? =
v5+1
2
? 1,6180339887 …В
процентном округлённом значении — это деление величины на 62 % и 38 % соответственно.
В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении впервые встречается в «Началах» Евклида, где оно применяется для построения правильного пятиугольника. В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. В большинстве живописных пейзажей линия горизонта
делит полотно по высоте в отношении золотой пропорции, а при выборе размеров картин старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось золотой пропорции.
3. Геометрия в архитектуре
Архитектура - монументальный вид искусства, целью которого является создание сооружений и зданий, необходимых для жизни и деятельности человечества, отвечая утилитарным и духовным потребностям людей.
Любой памятник архитектуры представляет собой то или иное сочетание простых геометрических тел. Призма, пирамида, конус, часть шара, параллелепипед, к этому можно добавить, пожалуй, лишь правильные многогранники как переходную форму между прямоугольниками и кругами.
При анализе композиций памятников древнеегипетского искусства было обнаружено,
что все они построены геометрично. Древнеегипетские памятники отличаются единством архитектурно-пластического решения, достигавшегося за счет строго разработанной системы про-
порций, в основе которой лежит закон числовой соразмерности. Наиболее наглядно это выражено в конструкции пирамид — самой геометризированной формы древнеегипетской архитектуры.
Различные архитектурные стили различных эпох характеризовались теми или иными
геометрическими формами. Например, древнеримская архитектура отличалась арочно-
сводчатой конструкцией, для общественных собраний строились вместительные сооружения с
плоской крышей – базилики. В романской архитектуре сделан акцент на гармоничных пропорциях и симметрии и ограниченном количестве декоративных элементов. Используется колоннада для оформления фасада.8
Все архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определённые геометрические формы. Каждое единое целое состоит из отдельных частей,
деталей, каждая из которых также строится на базе определённого геометрического тела.

удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая -

эмоциональная. Математика не
играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства, и, фактически, многие
художники редко или вообще никогда не используют даже перспективу. Однако есть много художников, у которых математика находится в центре внимания. Одним из них является Леонардо да Винчи. На искусство он смотрел не только глазами художника-творца, но и инженера,
естествоиспытателя, математика, провозглашая, что достоверности нет в науках там, где нельзя
приложить, ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой. [9]
4.1. Линейная перспектива
Перспектива как наука возникла в глубокой древности в связи с необходимостью изображать на плоскости предметы в трехмерном пространстве и развивалась в двух направлениях:
в области науки (строительстве, технике) и в живописи.
Линейная прямая перспектива - техника изображения пространственных объектов на
плоскости или какой-либо поверхности в соответствии с теми кажущимися сокращениями их
размеров, изменениями очертаний формы и светотеневых отношений, которые наблюдаются в
натуре (предметы уменьшаются пропорционально по мере удаления их от переднего плана).
Построение перспективных изображений на наклонных плоскостях применяют в монументальной живописи — росписи на наклонных фризах внутри помещения дворцовых сооружений и
соборов.

тенденции абстрагирования формообразования в изобразительном искусстве. Наиболее яркое проявление
геометрического орнамента

мы находим в самых ранних памятниках искусства каменного века
— геометрические знаки и абстрактные символы, которые существовали одновременно с
«натуральным стилем» искусства первобытных охотников. Геометрический стиль - одна из
ранних стадий развития искусства Греции Древней (IX-VIII вв. до н. э.). Проявился наиболее
ярко в вазописи, отчасти в мелкой пластике, а также в глиптике и декоративно-прикладном искусстве (посуде, оружии).
Геометриям, кубизм, абстракция, беспредметничество - это такие направления в живо-
писи, которые сводились к изображению геометрических фигур и всевозможных линий.
Супрематизм (от лат. supremus – высший) - художественное течение, основу которого
составляет композиция из простейших геометрических элементов. Абстракционизм, как
направление в искусстве XX в. является высшим проявлением беспредметного изображения.
Основоположником супрематизма был К. Малевич (его знаменитая картина «Черный квадрат»).
Геометрическая абстракция — форма абстрактного искусства, основанная на использовании
геометрических форм, иногда, хотя и не всегда, расположенных вне иллюзорного пространства
и объединенных в беспредметные, абстрактные композиции.

геометрических
форм, цветных плоскостей, прямых и ломаных линий. Кубизм — авангардистское

направление
в изобразительном искусстве, прежде всего в живописи, зародившееся в начале XX века и характеризующееся использованием подчеркнуто геометризованных условных форм, стремлением «раздробить» реальные объекты на стереометрические примитивы.
Анализ архитектурного сооружения Парфенон с точки зрения законов геометрии
Рассмотрим Парфенон. Попытаемся рассмотреть его с точки зрения геометрии и ее законов.
Хорошо видно, что данный памятник архитектуры представляет собой конструкцию из совокупности геометрических фигур: параллелепипедов, треугольной призмы, сужающихся цилиндров – усеченных конусов. Здание построено с учетом зеркальной симметрии, плоскость и про-
ходит вертикально. Видно, что в торцевой части здания расположены 8 колонн, симметрично
по 4 с каждой стороны от плоскости симметрии. Попытаемся увидеть в соотношении частей

следующее соответствие. Отношение ширины торца здания к его высоте (АВ:CD)

так-
же, как и отношение высоты здания до крыши к высоте крыши (DF:FC), также как отношение 10
СE:EF:
????
????
=
????
????
=
????
????
? 1.618.., Эта величина есть «золотое число» пропорции, что доказывает,
что архитектурный памятник построен в соответствии с каноном «золотого сечения».
Основные выводы
В процессе изучения теоретического материала мною была изучена история возникновения и развития геометрии с древнейших времен. Я убедился, что геометрия возникла и развивалась исходя из практических и эстетических потребностей человека. Изучив законы симметрии , золотого сечения и перспективы я увидел, что памятники архитектуры и живописи, получившие широкую известность как образцы пропорциональности и гармонии, буквально пронизаны
математикой, численными расчетами и геометрией. В процессе исследования мною рассмотрены архитектурные сооружения различных стилей, построенные в разные эпохи. Можно сделать
однозначный вывод, что в архитектуре каждого из них просматривается те или иные геометрические формы, выполнены они по тем или иным геометрическим законам. Проанализировав
геометрические стили в живописи, я убедился, что они сводятся к изображению геометрических фигур и всевозможных линий. Таким образом, гипотеза, выдвинутая вначале исследования, подтвердилась. Действительно, геометрия и искусство постоянно взаимодействуют друг с
другом, проникают друг в друга, подчиняясь законам и принципам.

возникновения и развития геометрии с древнейших времен. Я убедился, что

геометрия возникла и развивалась исходя из практических и эстетических потребностей человека. Изучив законы симметрии , золотого сечения и перспективы я увидел, что памятники архитектуры и живописи, получившие широкую известность как образцы пропорциональности и гармонии, буквально пронизаны
математикой, численными расчетами и геометрией. В процессе исследования мною рассмотрены архитектурные сооружения различных стилей, построенные в разные эпохи. Можно сделать
однозначный вывод, что в архитектуре каждого из них просматривается те или иные геометрические формы, выполнены они по тем или иным геометрическим законам. Проанализировав
геометрические стили в живописи, я убедился, что они сводятся к изображению геометрических фигур и всевозможных линий. Таким образом, гипотеза, выдвинутая вначале исследования, подтвердилась. Действительно, геометрия и искусство постоянно взаимодействуют друг с
другом, проникают друг в друга, подчиняясь законам и принципам.

строгую логику. В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных

элемента: наглядная кар-
тина и точная формулировка, строгий логический вывод. Геометрия соединяет в себе эти противоположности, они в ней взаимно проникают, организуют и направляют друг друга. Стоит
лишь вспомнить классические творения архитектуры, начиная с древнейших пирамид, как сразу становится очевидным, что геометрия в некотором смысле относится к искусству.
Изучая использованную литературу для подготовки данной работы, мой багаж знаний
пополнился многими интересными фактами из истории архитектуры, живописи и геометрии. Я
еще раз убедился, насколько многогранна применимость этой науки и как велика необходимости ее изучения. Не вызывает сомнения важность применения закономерностей и законов геометрии: золотого сечения, симметрии, соотношения пропорциональности в искусстве и архитектуре.
В заключении хотелось бы отметить, что геометрия - это наука, без которой невозможно
представить нашу жизнь, все исторические строения, объекты живописи. Везде нужны геометрические знания.