Орнаменты. Уравнения орнаментов.

Хусейна

нам высшей математике.

Герман

Вейль (известный математик)

для украшения каких – либо предметов или архитектурных сооружений.
Орнаменты

с давних времен применяются в декоративном искусстве.

их атомы расположены очень правильным образом, образуя как бы пространственный

орнамент. На рисунке изображены проекции пространственных решеток граната, кварца и каменной соли.

если выполнены следующие условия:
(1) среди перемещений,

отображающих Ф на себя, существуют неколлинеарные параллельные переносы.
(2) среди всех векторов (параллельных переносов), отображающих Ф на себя, существует вектор наимень­шей длины.
Если плоский орнамент Ф отображается сам на себя при поворотах вокруг точки А на углы, только кратные 360°/п, где п — натуральное число, большее 1, то точка А называется центром симметрии порядка п этого орнамента Ф.

только одного направления (и противоположному ему), причем среди этих переносов

существует перенос наименьшей длины, то такая фигура называется линейным орнаментом - бордюром.

Линейные орнаменты.

без промежутков. Такие орнаменты называются паркетами

как на рисунке а, — а также два перемещения плоскости:

- поворот вокруг вершины квадрата А на 90°, и f2 = Sa — симметрию относительно прямой а — продолжения стороны квадрата.

Применим к фигуре Ф всевозможные композиции перемещений f1 и f2 — в произвольном порядке и в любом числе. В результате мы получим совокупность плоских фигур, конгруэнтных Ф — так называемый плоский орнамент (с фундаментальной областью Ф и порождающими перемещениями f1 и f 2)

Построение орнаментов.

только к квадрату. Повороты

,
, (рис. а) добавляют к исходному три квадрата. Применив к этим квадратам симметрию f2 = Sa получим уже 8 квадратов — рисунок б. Повторив проделанную процедуру (последовательные повороты с последующей симметрией), получим картинку, изображенную на рисунке в.

Ясно, что применение к исходному квадрату всех возможных композиций перемещений и дает сетку квадратов на плоскости — рисунок г. Теперь мы «вспоминаем» о заштрихованном треугольнике и перемещаем его по уже готовой сетке с помощью отображений , и их композиций (рис. г):

— заштриховать какую-нибудь другую «подфигуру», то наши построения дадут геометрически

новый орнамент.

разные сетки осей симметрии или разные наборы порядков центров симметрии

— разные «скелеты», — или же разные множества переносов). Начертив эти 15 орнаментов и их скелеты, можно подметить много интересных закономерностей.

«атлас» плоских орнаментов! Оказывается, существует только 17 различных типов орнаментов,

или ровно 17 различно устроенных групп симметрии плоских орнаментов.

– либо уравнением или неравенством (а может быть системой уравнений

или системой неравенств), в котором многократно повторяется тот или иной узор.

причудливые картинки.

некоторой основной фигуры вдоль некоторого направления. Если сам линейный орнамент

считать основной фигурой и произвести над ним серию переносов вдоль нового направления, то мы получим двумерный орнамент. Повороты основной фигуры на углы, кратные , приводят к круговому орнаменту.

центром в начале координат и радиусом r = 1, её

уравнение в декартовой системе координат: x2 + y2 = 1.

Перенесем фигуру F0 вправо вдоль оси Ox на 2 единицы масштаба; она займет положение F1, а красная область прейдет в синюю. Уравнение окружности F1 в той же системе координат записывается уже в виде .