Обособленные обстоятельства

оборот обособляются независимо от места, занимаемого ими по отношению к

глаголу-сказуемому.
Идя рядом с ним, она молча, с любопытством и удивлением смотрела на него.
Зашевелились северные тучи и, хмурясь, заволокли небо.

собой устойчивое выражение. И день и ночь по снеговой пустыне

спешу к вам голову сломя. Он работал не покладая рук.
2) одиночные деепричастия, непосредственно примыкающие к глаголу-сказуемому и близкие по функции к наречиям образа действия. Он шел не торопясь. Ленивый сидя спит, лежа работает.
3) оборот, тесно связанный со сказуемым. Это упражнение делают стоя на носках.
4) оборот, выступающий в качестве однородного члена в паре с другим обстоятельством. Алеша длинно и как-то прищурив глаза посмотрел на Ракитина.

по, судя по, невзирая на, несмотря на, не доходя до,

исходя из, начиная с вместе с относящимися к ним словами не образуют деепричастных оборотов и не обособляются. К работе можно приступить начиная с будущей недели.
Когда деепричастный оборот стоит после союза а  и его невозможно оторвать от союза и переставить в другое место предложения без нарушения структуры последнего, то после союза запятая не ставится.  Я еще в комнатах услыхал, что самовар гудит неестественно гневно, а войдя в кухню, с ужасом увидел, что он весь посинел и трясется, точно хочет подпрыгнуть с пола.
Деепричастие не отделяется запятой от придаточного предложения, начинающегося со слова который. Перед реформаторами всегда возникают десятки повседневных проблем, не решив которые невозможно двигаться вперед.

на, невзирая на. Несмотря на все мои старания, я никак не

мог заснуть.
Обособление обстоятельств с предлогами благодаря, ввиду, вопреки, вследствие, по причине и т. п. является факультативным.
Обороты с производными предлогами обязательно обособляются, если они располагаются между подлежащим и сказуемым. Благодаря дождям посевы поправились. - Посевы, благодаря дождям, поправились; Во избежание утечки газа отключен кран. - Отключен, во избежание утечки газа, кран.