10.1 Расположенные друг за другом n чисел x 1, x 2, …, x n образуют числовую

образуют числовую последовательность длины n. Пусть каждому натуральному числу n поставлено

в соответствие число xn , тогда говорят, что дана последовательность x1, x2, …, xn,…, или так: {xn}. Общий член последовательности xn является функцией аргумента n, xn = f(n). Давая n различные значения (n = 1, 2, 3, …,) получаем последовательность значений этой функции:
f(1), f(2), …, f(n).
Для задания бесконечной последовательности {xn} нужно указать правило, по которому любому n можно поставить в соответствие xn. Последовательность может быть задана: таблично, графически или с помощью формулы общего члена последовательности xn = f(n), где f(n) – некоторое выражение. Не для каждой последовательности можно подобрать формулу общего члена.

Пусть дана последовательность тогда ее члены: 1, 1/2, 1/3, …, 1/n,… . сть,

Последовательность, для которой xn = 2n – 1 имеет следующий вид:
{1, 3, 5, 7,…, 2n-1,…}.
Для последовательности 1.1, 1.01, 1.001,…или 1+1/10, 1+1/100, +… общий член имеет вид:

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

(убывающей), если для любого номера n выполняется неравенство xn+1 >

xn (xn+1 < xn).

предел последовательности {xn}, если какова бы ни была ε -

окрестность точки а, начиная с некоторого номера все точки xn попадут в эту окрестность, т.е. вне интервала (а – ε, а + ε) останется лишь конечное число членов последовательности.
Если последовательность имеет пределом число а, то говорят, что последовательность сходится к числу а и записывают так:
иначе последовательность – расходится.
Сходящаяся последовательность имеет только один предел!