Основные теоремы теории вероятностей

Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.

исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример

. Брошена монета. События – «появился герб» и – «появилась цифра» несовместны, так как при однократном бросании монеты появление герба исключает появление цифры.
Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.

не исключает появление другого в одном и том же испытании
Пример

. Монета брошена два раза. События – «появился герб при первом бросании» и – «появился герб при втором бросании» являются совместными

множеств, что позволяет определить отношения над ними.
Первый учебный вопрос.
 Теорема

сложения вероятностей суммы несовместных событий.
Теорема. Вероятность суммы несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий:
P(A+B)=P(A)+P(B).

одного из них не исключает появления другого в одном и

том же испытании.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P(A+B)= P(A)+P(B)- P(AB). (4)

(3)
Если обозначить
P(A)=p,
то формула (3) примет вид
p+q=1.
Пример.
Вероятность того, что день будет дождливым, p=0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.

искомая вероятность
q=1-p=1-0,7=0,3
Замечание. При решении задач на отыскание вероятности события A

часто выгодно сначала вычислить вероятность события а затем найти искомую вероятность по формуле
.

попадания в первую область равна 0,45, во вторую- 0,35. Найти

вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает либо в первую, либо во вторую область.
Решение. События A- « стрелок попал в первую область» и B- « стрелок попал во вторую область»- несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.
Искомая вероятность
P(A+B)= P(A)+P(B)=0,45+0,35=0,80

15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
Решение. Появления цветного

шара означает появление либо красного, либо синего шара.
Вероятность появления красного шара (событие A)
P(A)= 10/30=1/3.
Вероятность появления синего шара (событие B)
P(B)=5/30=1/6.

появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.
Искомая вероятность
P(A+B)= P(A)+P(B)=

1/3+ 1/6=1/2.
Условная вероятность. События, независимые в совокупности Теорема умножения вероятностей
Произведением двух событий A и B называют событие (AB), состоящее в совместном появлении событий A и B.

B, если вероятность события A не зависит от того, произошло

событие B или нет.
Событие A называют зависимым от события B, если вероятность события A зависит от того, произошло событие B или нет.

что произошло событие В , называется условной вероятностью события А

и обозначается так: P(А/В), или PВ(А).
Определение. Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого,
PВ (А)=p(А); pА (В)=p(В).

произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную

в предположении, что первое событие уже наступило:
P(AB)=P(A)PA(B) (1)
Замечание. Применив формулу (1) к событию BA, получим
P(BA)=P(B)PB(A). (2)

если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8,

а вторым (событие В) -0,7.
Решение. События A и B независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность
Р(АВ)= Р(А) Р(В) = 0,7·0,8=0,56.

независимых событий).
Теорема. Если события A1,A2,…,An независимы в совокупности, то вероятность

наступления хотя бы одного из этих событий (т.е. вероятность суммы) вычисляется по формуле


Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1=0,8; p2=0,7; p3=0,9.
1. Найти вероятность ровно одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

орудия попали в цель.
3. Найти вероятность (событие C) того, что

одно или два орудия попали в цель.
4. Найти вероятность (событие D) того, что все орудия попали в цель.
5. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие F) при одном залпе из всех орудий.

от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A1

(попадание первого орудия), A2 ( попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям A1, A2 и A3 (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

0,3∙ 0,1=0,994.

последовательно без возвращения вынимают два шара. Найти вероятность того, что:

а) оба шара белые; б) оба шара красные; в) первый шар белый, а второй красный; г) шары разного цвета.
В лотерее выпущено 10000 билетов и установлены 10 выигрышей по 1000 рублей, 100 – по 500 рублей, 500 – по 100 рублей и 1000 выигрышей по 25 рублей. Гражданин купил 1 билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 100 рублей?

задает студенту три вопроса. Найти вероятность того, что студент: а)

ответит на все вопросы; б) не ответит ни на один вопрос; в) ответит на первый и второй вопросы, но не ответит на третий вопрос; г) ответит только на один вопрос.
Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна p, для второго – 0,7. Вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найти p.

того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре

бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
В мешке содержится десять одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением (извлеченный кубик возвращается в мешок).