ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ 8

четырёх точек, каждые три из которых не лежат на одной

прямой,
и четырёх отрезков, последовательно соединяющих эти точки без взаимных пересечений,
причём вся фигура расположена
в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую из её сторон.

Диагонали четырёхугольника – это отрезки,
которые соединяют две не соседние
вершины четырёхугольника.

А

В

С

D

FKLM - данный четырёхугольник.

FL, KM – его диагонали

Определение:

Параллелограмм – это четырёхугольник,
у которого противолежащие стороны параллельны,
то есть, лежат на параллельных прямых.

F

K

L

M

ABCD – параллелограмм: AB║CD; ВС║AD
AC, BD – его диагонали;
точка О – точка пересечения диагоналей.

O

точкой пересечения делятся пополам
В
С
D
O
AO = OC, BO = OD.
ТЕОРЕМА:

У параллелограмма
противолежащие стороны равны
и противолежащие углы равны

AB = CD, AD = BC;

Если диагонали четырёхугольника
пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам,
то этот четырёхугольник
параллелограмм

Определение:

Прямоугольник – это параллелограмм,
у которого все углы прямые.

F

K

M

N

O

ТЕОРЕМА: У прямоугольника диагонали равны

FM = KN.

Свойство прямоугольника:

А

У ромба диагонали пересекаются под прямым углом.
F
K
M
N
O
KM ┴ FN
Определение:
Квадрат –

это ромб, диагонали которого равны.

или:

Квадрат – это прямоугольник, стороны которого равны.

A

B

C

D

А поэтому, квадрат обладает свойствами всех предыдущих фигур:

О

АО = ОС; ВО = ОD

AC ┴ BD

AC = BD;

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

< KFO = < OFM, < MNO = < ONK
< NKO = < OKF, < FMO = < OMN

< ABO = < OBC = < BCO = < COD…

а две другие – не параллельны.
Параллельные стороны трапеции
называются ОСНОВАНИЯМИ,

а
не параллельные – БОКОВЫМИ сторонами
трапеции.

A

B

C

D

Определение:

Средней линией трапеции называется
отрезок, который соединяет середины
боковых сторон трапеции (FK).

Свойства трапеции:

F

K

Сумма углов трапеции при боковой стороне равна 180°

Определение:

Высотой трапеции называется
отрезок перпендикуляра, заключённый
между основаниями трапеции (BN).

N

вычислительного характера, так и на доказательства.
1. Один из углов параллелограмма

равен 83° . Найдите остальные его углы.

Решение

Пусть ABCD – данный параллелограмм, у которого < А= 83°, тогда :
так как противолежащие углы параллелограмма равны, то < С= < А= 83°,
а так как сумма углов параллелограмма, прилежащих к его стороне равна 180°,
то: < В = 180° – 83° = 97° , следовательно, < D = < В = 97° , как ему противолежащий.

Ответ: 97°, 83°, 97°.

A

B

C

D

2. Два угла трапеции равны 36° и 112° . Найдите её остальные углы.

Решение

F

K

M

Z

Пусть FKMZ – данная трапеция, угол KFZ которой равен 36°.
Так как < F +< K = 180°, как внутренние односторонние при FZ║ KM и
FK – секущей, то <К = 180°-36° = 144°.
Если < М = 112°, то < Z = 180° - 112°= 68°, так как < М и < Z внутренние
односторонние при FZ║ KM и MZ – секущей.

Ответ: 144°, 68°.

углов равен 60°,
а основания равны 15 см и

49 см.

Решение

A

B

C

D

N

P

4. Диагонали ромба равны 14 см и 48 см. Найдите его высоту.

Решение

F

K

M

Z

O

P

Ответ: 13,44 см.

с ребром
равным единице, которое содержит данная плоская фигура.
а
а
P=4∙a
a
b
S

= a∙b

P = 2∙(a+b)

a

b

β

δ

P =2(a+b)

a

β

P=4a

a

b

h

h

вершины лежат на окружности.
F
8 класс
Диагонали FM и KZ являются хордами

окружности, поэтому:
KP∙PZ = FP∙PM

K

M

P

Z

Определение:

Многоугольник называется описанным около окружности,
если его стороны являются касательными к данной окружности.

A

B

C

D

R

O

R

Свойства четырёхугольника, описанного около окружности:

1. Суммы противолежащих сторон четырёхугольника равны:

AD+BC = AB+CD

1. В окружность можно вписать лишь равнобокую трапецию.

2. Диагонали прямоугольника, вписанного в окружность являются
диаметрами данной окружности, а противолежащие стороны
находятся на одинаковом расстоянии от центра данной окружности.

Полезно знать:

2. Отрезки DO, AO, BO, CO – биссектрисы соответствующих углов.

средней линии трапеции,
расположенный между её диагоналями,

равен 3 см. найдите основания трапеции.

Решение

A

B

C

D

F

K

Пусть ABCD – данная трапеция периметр которой равен 28 см, и
FK – отрезок её средней линии, равный 3 см.
По свойству описанной около окружности трапеции имеем:
AD+BC=AB+CD= 14 см. Тогда ZM = 7 см.
Так как ZM – средняя линия трапеции, то ZF – средняя линия ∆ABC,
KM – средняя линия ∆DCB, а значит, ZF+KM= BC, следовательно,
BC = 7 – 3 = 4(см), тогда AD = 14 – 4 = 10(см).

Z

M

Ответ: 10 см, 4 см.

8. Через точку пересечения диагоналей квадрата провели две взаимно перпендикулярные
прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются
вершинами другого квадрата.

A

B

C

D

F

K

M

Z

O

Пусть FKMZ – данный квадрат, точка O – точка пересечения его диагоналей, а
точки A,B,C,D – точки пересечения двух перпендикулярных прямых AC и BD
со сторонами квадрата, проходящих через точку О.
Пусть образовавшийся < МОС равен δ, тогда < ZOD = < FOA = а значит, ∆ ZOD = ∆ FOA = ∆KOB = ∆ МОС по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Таким образом, ZD=FA=KB=MC, а значит и DF=AK=BM=CZ, следовательно,
DA=AB=BC=CD как гипотенузы равных прямоугольных треугольников, а так как

Решение

задач
на применение свойств рассматриваемых фигур. Приведённых примеров явно не

достаточно для качественного усвоения темы. Здесь лишь обозначены пути решения задач с конкретными условиями.
И приведённые решения не являются единственными решениями,
а лишь представляют один из способов решения данной задачи,
так что Ваше решение может быть более рациональным, что и будет свидетельствовать о качестве усвоения темы.
В предложенной работе намеренно не приводились доказательства свойств фигур, носящих ранг теорем, в надежде, что это вполне доступно выполнить и самостоятельно. Если, на первых порах, доказательство какой-нибудь теоремы вызовет затруднение, то можете пользоваться формулировкой теоремы как известным фактом и применять его при решении задач.

Успехов Вам.
И помните:
ЗНАНИЯ ЛИШЬ ТОГДА БУДУТ ПРОЧНЫМИ,
ЕСЛИ ОНИ ПРИОБРЕТЕНЫ СОБСТВЕННЫМИ УСИЛИЯМИ.