Электрические цепи синусоидального тока

R, L, C в цепи синусоидального тока
Символический или комплексный

метод расчета
Мощность синусоидального тока
Резонансы в электрических цепях

(напряжение, Э.Д.С.), являющийся синусоидальной или косинусоидальной функцией времени:


Генератор гармонического (синусоидального)

напряжения:








Э.д.с. и ток на генераторе гармонического (синусоидального) напряжения:

времени, между которым мгновенные значения повторяются, [c].
Частота ƒ – величина

обратная периоду [Гц].
Угловая частота ω – число периодов Т в интервале времени, равном 2π: ω = 2πƒ
Фаза – аргумент гармонической функции , который линейно увеличивается во времени.
Начальная фаза – значение фазы в начальный момент времени (t = 0).

c e1(t);
α = π – в противофазе;

α < 0 –

отстает по фазе ?

α > 0 – опережает по фазе ?.

фазой тока и фазой напряжения.



Мгновенное значение напряжения (тока, э.д.с.) –

функция времени:
Обозначается прописными буквами u(t), i(t), e(t).




Действующее значение напряжения (тока, э.д.с.) – такое значение постоянного напряжения (тока, э.д.с.), которое за период оказывает такой же тепловой и другие эффекты, что и синусоидальное напряжение (ток, э.д.с.)
Обозначается заглавными буквами U, I, E.

Если i = Im sin ωt , то действующее значение тока

u = Um sin ωt , то действующее значение напряжения

e = Em sin ωt , то действующее значение э.д.с.

гармонических величин:
1) Тригонометрическая форма:
Недостаток – трудно производить математические операции с

несколькими синусоидами.
2) Графическая форма: (волновая диаграмма).
Недостаток – большие погрешности.

3) Векторы на плоскости в Декартовой системе координат.

Длина вектора – амплитуда.
Угол – начальная фаза.

Векторная диаграмма – это совокупность векторов, изображающих векторы тока, напряжения и э.д.с. цепи, исходящих из одной точки

A и мнимого числа jB:

Сопряженное число:

Мнимая единица:

Модуль комплексного числа

– длина вектора :


Аргумент (фаза) комплексного числа – угол между осью действительных чисел и вектором:


(обязателен учет четверти – если II-я или III-я четверть, то )
Угол откладывается против часовой стрелки.

и вычитания комплексных чисел:





Показательная форма:


Показательная форма предпочтительна для умножения и

деления комплексных чисел:



Тригонометрическая форма:

т.к. .

ИРЭ:



Т.о. напряжение и ток на ИРЭ всегда совпадают по фазе:
Комплексное

сопротивление .

Мгновенная мощность:



где – действующие значения напряжения и тока.
Среднее значение мощности на ИРЭ:

Пассивные элементы R, L, C в цепи синусоидального тока

ИЕЭ:




Комплексное сопротивление ИЕЭ:

- закон Ома в комплексной форме

для ИЕЭ.

Мгновенная мощность:

Средняя мощность:

самоиндукции 2-й закон Кирхгофа для данной цепи:



Тогда ток, протекающий через

ИИЭ:

Комплексное сопротивление ИИЭ:


- закон Ома в комплексной форме для ИИЭ.



Интенсивность объемных процессов оценивается реактивной мощностью:

комплексной форме.

закон Ома для участка цепи

закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС


первый закон Кирхгофа

второй закон Кирхгофа

Это позволяет в математическом описание параметров элементов схемы замещения (резистивных, индуктивных, емкостных) цепи переменного тока в комплексной форме вложить всю необходимую информацию о поведении этих элементов в цепи синусоидального тока. При этом каждый элемент заменяют на его комплексное изображение

и токов источников тока их комплексными изображениями. Параметры ветвей схемы

заменяют их комплексными сопротивлениями и проводимостями.







2) В полученной комплексной схеме произвольно выбирают направления комплексных токов в ветвях и обозначают их на схеме.
3) Составляют комплексные уравнения по выбранному методу расчета:



4) Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины:


5) При необходимости записывают мгновенное значение найденной комплексной величины:

и напряжения:

Комплекс полной мощности:



Активная мощность P – среднее значение мгновенной

мощности за период Т. Равна энергии, рассеиваемой на активном сопротивлении в единицу времени.
Реактивная мощность Q – численно равна максимальной скорости запасания энергии в реактивных элементах. Характеризует процессы обмена энергией между цепью и источником.
Коэффициент мощности cos ϕ – характеризует степень использования полной мощности или долю активной мощности в полной. При cos ϕ = 1 вся мощность источника используется полностью.

– приемник активной мощности;
+Qu – потребитель реактивной мощности (катушка индуктивности);
-

Qu – генератор реактивной мощности (конденсатор).

Полная мощность у приемников:



причем знаки расставляются противоположно мощности у источников.
Баланс мощностей – алгебраическая сумма комплексных мощностей активных элементов в схеме равна сумме комплексных мощностей всех пассивных элементов:

понимают режим, при котором напряжение и ток на его входе

совпадают по фазе.
Условием резонанса является равенство нулю реактивного сопротивления X или реактивной проводимости B цепи, что предполагает наличие в цепи реактивных элементов различного характера (индуктивного и емкостного). В разветвленных цепях, где количество реактивных элементов N>3, возможны несколько резонансных режимов.
Резонансный режим логично достичь либо изменением параметров элементов цепи, либо изменением частоты приложенного к цепи напряжения, либо сочетанием этих двух факторов.
Резонансный режим в цепи с последовательным соединением участков, содержащих реактивные элементы различного характера, носит название резонанс напряжений. Признаком резонанса напряжения является равенство реактивных составляющих напряжений на последовательно включенных реактивных элементах различного характера.
Резонансный режим с параллельным соединением таких участков называется резонансом токов. Характерным признаком резонанса токов является равенство реактивных составляющих токов в параллельных ветвях, содержащих реактивные элементы различного характера.