Кинематика

способы (не причины!) описания движений и связь между величинами, характеризующими

эти движения.

МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ:
Материальная точка (МТ) – любой объект, формой и размерами которого в данной задаче (в данных условиях) можно пренебречь;
Набор конечного числа материальных точек – достаточно общая модель произвольной механической системы.
Абсолютно твёрдое тело (АТТ) – тело, форма и размеры которого при наличии тех воздействий, что описаны в условиях задачи, могут считаться неизменными. АТТ можно рассматривать как набор материальных точек с неизменными расстояниями между ними.

Система отсчета - тело отсчёта, жёстко связанная с ним система координат и часы

отсчёта
Положение МТ в пространстве в определённый момент времени задаётся тремя

её координатами (например, декартовыми) или радиус-вектором :
, , . (1.1)
При движении МТ её координаты становятся функциями времени:
, , . (1.2 а, б, в)
Аналогично,
. (1.3)

Закон движения МТ – правило, по которому можно определить её положение в любой момент времени.
P.S. Закон движения (1.2 а, б, в) можно рассматривать как уравнения траектории, заданной в параметрическом виде (в роли параметра t).

, – в момент

, – перемещение за промежуток времени ,
– путь за (длина отрезка траектории),
– мгновенная скорость в момент времени ,
– мгновенная скорость в момент t2.

– касательные к траектории.
Очевидно:

При малых очевидно, что
.

Средняя скорость

Мгновенная скорость

PS. Другой вид математической записи («точка» обозначает производную по времени)
.

Средняя путевая скорость


– путь, пройденный за . При получаем:

):





Среднее ускорение за промежуток времени (t1, t2):


Мгновенное ускорение (в

момент t):


Очевидно:


PS.1. Если закон движения задан, например, известна зависимость , то мы имеем о движении полную информацию, и все величины, определённые равенствами (1.6) – (1.14) легко вычисляются, точно так же, как и их проекции на декартовы оси.

PS.2 Переход и выполняется с помощью дифференцирования.

,

выполняется с помощью интегрирования.

Чтобы найти по заданной , необходимо знать начальное значение



Аналогично:

Пример 1.
Пусть МТ движется с . Тогда можно найти

Интегрируя ещё раз, получаем закон движения:
Это равенства, связывающие кинематические величины в общем случае,
т.е. при произвольном движении МТ.

Пример 2. (из школьной жизни!). Прямолинейное равноускоренное движение.


Очевидно, что

, (1.20а,б)


, , (1.21а,б)


, (1.22)

(1.23)

и т.д.

ДВИЖЕНИИ: ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ И НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ.




Очевидно, при криволинейном движении ускорение материальной

точки отлично от нуля, т.к. вектор скорости изменяется по величине и по направлению.

Представим вектор скорости МТ в виде где


т.е. – единичный вектор, направленный по скорости


Продифференцируем уравнение :


Обозначим:

при

при

Второе слагаемое - называется

нормальной составляющей
она нормальна, т.е. перпендикулярна, к вектору скорости (см. ниже!).

Рассматривая этот треугольник как бесконечно малый сектор, имеем


Но

. Отсюда

, направление которого указано на рисунке 1.4 – «к нам»,

– то будем иметь с учётом (1.31) и (1.33):
(1.34)

Таким образом, (см. (1.31), (1.28)),
(1.35)
Следовательно, равенство (1.29) – разложение вектора ускорения на две взаимно перпендикулярные составляющие.
Далее, можно представить в виде

(1.36)

Направления , , в случае показаны на рисунке 1.5.

(1.37)

называется вектором угловой скорости.
Вектор определяет как

направление поворота, так и величину угла поворота радиуса-вектора за единицу времени.
Направление движения МТ по окружности и направление связаны правилом буравчика.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ И УГЛОВЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ. РАДИУС КРИВИЗНЫ ПЛОСКОЙ ТРАЕКТОРИИ.
PS.

.
При движении против часовой стрелки направлена «к нам»
по часовой – «от нас»

За время dt радиус-вектор изменится на :

Используя аналогию треугольников:

:



Введём новое определение: угловым ускорением МТ назовём величину
Поделив обе части

на , будем иметь

,

что даёт


Учитывая, что ,

получаем:


Таким образом, в разложении:


слагаемые имеют вид:


Нормальная составляющая ускорения – это хорошо известное из школьного курса центростремительное ускорение.
Ускорение материальной точки , движущейся по окружности, называют также полным ускорением.

МТ, движущейся по окружности)











Ось OZ направлена «к нам», –

единичный вектор, указывающий направление отсчёта положительных углов, которое связано с направлением OZ правилом буравчика

Для движения вдоль оси OX имеем

движение по окружности:






где – угловое перемещение

материальной точки

переменные, характеризующие движение МТ по окружности

:
, ; (1.55а, б)
, , ; (1.56а, б, в)
, , ; (1.57а, б, в)
Здесь – проекции скорости и ускорения на вектор ,
; (1.58 а, б)
, . (1.59 а, б)
Малую окрестность точки плоской криволинейной траектории материальной точки можно рассматривать как малую дугу некоторой окружности. Радиус этой окружности – радиус кривизны траектории в окрестности данной точки, . Эта величина удовлетворяет равенству аналогичному (1.59 б).

. (1.60)