Слайд 1Если колебательная система подвергается воздействию внешней периодической силы, то возникают
так называемые вынужденные колебания, имеющие незатухающий характер. Особый интерес представляет
случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω0.
Вынужденные колебания
Слайд 2Вынужденные колебания
Вынужденные колебания – это колебания, возникающие под
действием внешней периодически изменяющейся по гармоническому закону силы.
Слайд 3Вынужденные колебания
Согласно II закону Ньютона получаем:
Разделим это уравнение на m,
и перенесем члены, содержащие x в левую часть,
Слайд 4
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
Неоднородное линейное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами.
Слайд 5
Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного
уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.
Вынужденные колебания
Слайд 6
Вынужденные колебания
Общее решение уравнения вынужденных колебаний таково:
Слайд 7Первое слагаемое играет заметную роль только в начальной стадии процесса,
при так называемом установлении колебаний
С течением времени из-за экспоненциального множителя
роль первого слагаемого уменьшается, и по прошествии достаточного времени (время релаксации) им можно пренебречь, сохраняя лишь второе слагаемое
Вынужденные колебания
Слайд 9Вынужденные колебания
Установившиеся колебания – гармонические с частотой, равной частоте вынуждающей
силы. Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Она зависит
от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания также зависит от частоты вынуждающей силы.
Слайд 10 Амплитуда вынужденных колебаний и фаза определяются следующими формулами:
Вынужденные колебания
Слайд 11РЕЗОНАНС
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к
тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда
колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, соответствующая частота – резонансной частотой.
Слайд 12РЕЗОНАНС
Резонанс- явление резкого увеличения амплитуды колебаний при частоте вынуждающей силы
близкой к собственной.
Чтобы определить резонансную частоту ωрез, нужно найти
максимум функции определяющей зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.
Слайд 13РЕЗОНАНС
Продифференцировав выражение
по ω и приравняв нулю, получим условие, определяющее ωрез:
Слайд 14РЕЗОНАНС
Данное уравнение имеет три решения: ω=0 и
Решение равное
нулю, соответствует максимуму знаменателя. Отрицательное не имеет физического смысла. В результате, для резонансной частоты берем положительное значение.
Зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой.
Слайд 16РЕЗОНАНС
При стремлении ω к нулю все кривые приходят к одному
и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному
то есть . Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины F0 .
Слайд 17РЕЗОНАНС
При очень большом затухании выражение для резонансной частоты становится мнимым.
Это означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается –
с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает.
Слайд 18При резонансе амплитуда Арез колебания может во много раз превосходить
амплитуду А колебаний, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда
вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать.
РЕЗОНАНС
Слайд 19РЕЗОНАНС
В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа
внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической
энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе. У колебательных систем с невысокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот
Слайд 20РЕЗОНАНС
Зависимость φ от ω при различных значения коэффициента затухания β.
Частоте ω0 соответствует φ=π/2.
Слайд 21Уравнение колебательного
контура
Слайд 22Полное сопротивление
колебательного контура
Из закона Ома для участка цепи переменного тока:
Реактивное
сопротивление
Слайд 23Сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения (отношение реактивного
сопротивления к активному):
Слайд 24В случае автоколебаний в системе предполагается специальный механизм, который в
такт с собственными колебаниями "поставляет" в систему небольшие порции энергии
из некоторого резервуара энергии. Тем самым поддерживаются собственные колебания, которые не затухают. В случае автоколебаний система как бы сама себя подталкивает.
Автоколебания
Слайд 25Параметрический резонанс
Параметрический резонанс заключается в совершаемом в такт с колебаниями
периодическом изменении какого-либо параметра системы, вследствие чего само явление называется
параметрическим резонансом. Пример – маятник с изменяющейся нитью.
Слайд 27Параметрический резонанс
Увеличение энергии маятника при этом происходит
за счет работы, которую совершает сила, действующая на нить.
Сила натяжения нити при колебаниях маятника непостоянна: она меньше в крайних положениях, когда скорость обращается в нуль, и больше в среднем положении, когда скорость маятника максимальна.
Поэтому отрицательная работа внешней силы при удлинении маятника оказывается меньше по величине, чем положительная работа, совершаемая при укорочении маятника.
В итоге работа внешней силы за период оказывается больше нуля.
Слайд 28Контрольные вопросы
Тело массой 400 г, подвешенное на пружине жесткостью 40
Н/м, находится в вязкой среде, коэффициент сопротивления которой r =
0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = cos(ωt) Н. Определить резонансную циклическую частоту, резонансную амплитуду, амплитуду вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы в 2 раза меньше собственной частоты колебаний.
