Атом водорода

атом водорода — это единственная реальная система, для которой возможно

2) волновые функции стационарных состояний атома водорода образуют базисный набор, который можно использовать для анализа волновых функций более сложных систем — многоэлектронных атомов и молекул

Водородоподобные атомы
(ядро + 1 электрон)

He+ Li2+ Be3+ …

x2, y2, z2 〉k ⋅ exp(iωkt)
Уравнение на собственные значения

(2/2m1)∇2(x1, y1, z1)
Т2 = – (2/2m2)∇2(x2, y2, z2)

Оператор Гамильтона для атома водорода

системе координат
Переход к другой системе координат


координаты центра масс в лабораторной

координаты электрона во внутренней системе, центрированной на ядре

лабораторной системе координат (X, Y, Z).

2) ЛОКАЛЬНЫЕ движения частиц во

Ф (x1, y1, z1, x2, y2, z2) =

= Ф' (X, Y, Z) • Ф'' (x, y, z)

Разделение одного сложного (6-мерного) движения на два простых (3-мерных) движения

трехмерном потенциальном ящике

36, …
β = 0, 2, 6, 12,

α = m ⋅ m , где m = 0, ±1, ±2, ...
β = ( + 1), где  = 0, 1, 2, ...

Вспомогательные соотношения

, m) = R(n, ) • Θ(, m) • Φ(m)

Ф-функции

}
Полный набор
стационарных состояний

Ψ21–1 = 2p–1 Ψ211 = 2p1
Ψ300

⋅ Ψn,+m
Квантовые числа n и  определяют пространство состояний {

Все состояния в таком пространстве характеризуются одним и тем же значением энергии и момента импульса:
E = const | L | = const
При этом, однако ориентация вектора момента может быть любой:
Lz = ???

В пустом пространстве все направления равноправны

Ψn,+m

= R ⋅ sinθ ⋅ cosφ
2рy ~ 2p+1

2рz = 2po = R ⋅ cosθ ⋅ ei0φ = R ⋅ cosθ

(τ ≈ 10–8 с)

Ψ(r, θ, φ)
Волновые функции стационарных состояний являются собственными для операторов

H Ψ = E ⋅ Ψ ( E — энергия )

L2 Ψ = | L |2 ⋅ Ψ ( | L | — модуль вектора орбитального момента )

Lz Ψ = Lz ⋅ Ψ ( Lz — проекция вектора орбитального момента )

10–19 Кл
 = 1,055 ⋅ 10–34 Дж⋅с
εо

Энергия (полная)
E = T + U

Нуль на шкале энергии соответствует бесконечно большому расстоянию между ядром и электроном, поэтому энергии всех связанных состояний отрицательны

– R
n = 2
E2 =

n = 3
E2 = – R/9

n = 4
E2 = – R/16

0, ± , ± 2, … , ± |

операторов координат R, Θ и Φ

узловых точек Nрад = n –  – 1
Обобщенная

Узловая структура (и энергия) электронных облаков не зависят от величины магнитного числа m. Так, например, для всех пяти состояний типа 3d число радиальных узлов равно нулю.

4πr2
Она дает вероятность обнаружить электрон на расстоянии r от

ао — боровский радиус

= const)
Шаровые функции


Область определения (поверхность сферы)
Полярная диаграмма

не изменяется, но часть радиальных преобразуется в угловые
Число угловых узловых

r = f ( θ, ϕ)
Для того, чтобы получить

ИВП – 90 %
ИВП – 95 %

2 [ s (s + 1) ]
s

θ, φ, η) = Ψ(r, θ, φ) ⋅ Χ(η)

Пространственный множитель

Спиновой множитель

Квантовые числа
Наблюдаемые

L2 | = const
L2Z = const
Закон сохранения момента

| = const
L2Z = const

| J | =

L2 )
по отдельности
Закон сохранения момента выполняется только для глобального

— модуль вектора полного механического момента
JZ — проекция

s) – 1, … , |  – s

mj = – j , – j + 1 , … , + j

1/2
j = 1/2
mj = { –1/2 +1/2

 = 1 s = 1/2

j1 =  + s = 3/2
mj1 = { –3/2 –1/2 +1/2 +3/2 }

j2 = |  – s | = 1/2
mj2 = { –1/2 +1/2 }

1/2
j1 =  + s = 5/2
mj1 =

j2 = |  – s | = 3/2
mj2 = { –3/2 –1/2 +1/2 +3/2 }

(слабо)
Е(s) < E(p) < E(d) < …
Причина — спин-орбитальное

функции и плотности электронного облака для заданного стационарного состояния {

, ms } атома водорода составить нерелятивистские и релятивистские обозначения
{

, ms } атома водорода вычислить значения наблюдаемых:
1) энергии (в

j1 =  + s

j2 = |  – s |