Слайд 1Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс
Слайд 3Подробно написать, почему у берегов Перу много рыбы (начать с
неравномерного прогрева Солнцем поверхности Земли)
Записать уравнение Гельмгольца, раскрыв полную производную
по времени. При каких условиях оно существует.
Уравнения Эйлера, неразрывности, линии тока, Бернулли-Эйлера, Фридмана
Слайд 4Показать, что если на поверхности односвязного объема потенциал скорости имеет
постоянное значение, то такое значение будет и в любой точке
внутри объема.
Записать уравнение движения идеальной жидкости (уравнение Эйлера)
Записать выражение для потока скорости через контур АВ и циркуляции скорости через контур L
Слайд 5Выражение скорости течения через функцию тока
Чему равна функция тока на
линии тока?
Условие аналитичности функции w=+i комплексного аргумента z=x+iy
Написать выражение
комплексной скорости
Слайд 6Рассмотрим плоское движение u(ux,uy)
Запишем уравнение линии тока:
Если ввести такую функцию
, что
Вдоль линии тока
то вдоль линии тока
Слайд 7 На каждой линии тока функция тока сохраняет постоянное
значение, которое, вообще говоря, различно для разных линий тока.
Слайд 8Поток скорости выразим через функцию тока
Слайд 9Поток скорости через контур AB
A
B
Записать через функцию тока
Слайд 10Не зависит от способа соединения точек А и B
Слайд 11задача
Найти выражение вихря через функцию тока
Слайд 12Для плоского движения u(ux,uy) запишем компоненты ротора скорости
Если движение безвихревое
функция
тока удовлетворяет уравнению Лапласа
Слайд 13Запишем компоненты скорости течения, используя потенциал скорости и функцию тока:
Слайд 14х
Последние два равенства перемножаем
Это условие ортогональности линий
тока и линий равного потенциала
=const
=const
Слайд 15Потенциал скорости через функцию тока
Пусть известен потенциал скорости (x,y).
(1)
Слайд 16Интегрируем (1) от некоторого значения а до х
Для определения F(y)
дифференцируем (2)
(2)
Слайд 18Кинетическая
энергия
Жидкость несжимаема, заключена в объем с поверхностью S
Слайд 19Преобразование Грина
n –направление внутренней нормали к S
Слайд 20Энергия объема определяется движением на границе. Когда она равна нулю?
Если
Слайд 21Энергия объема равна нулю
при условии, что жидкость не протекает
через границу,
если потенциал на всей границе имеет постоянное значение
Слайд 22Кинетическая
энергия
объема несжимаемой жидкости, ограниченного замкнутым контуром L (плоская задача)
Слайд 23=const
=const
L
Направление обхода выбирается таким образом, чтобы интеграл получился положительным
Слайд 24Комплексная скорость
и
комплексный потенциал
w=+i
Слайд 26Условия Коши-Римана для и
это условия аналитичности функции w=+i
комплексного аргумента z=x+iy. Это значит, что эта функция w=f(z) имеет определенную производную
ux
х
iy
-uy
1
i
Слайд 28D = x(x0,y0)D x + y(x0,y0)D y +x (x,y);
D = x(x0,y0)D x+
y(x0,y0)D y + h (x,y);
V(x,y)=x (x,y)+ih (x,y)
Слайд 30х
iy
1
i
Построить отрезок [(1,i),(2,-2i)]
Слайд 31Функция w=+i называется комплексным потенциалом, однозначно определяет плоское течение
- комплексная
скорость
х
iy
Слайд 32Пример №1
Задан комплексный потенциал
a – действительная величина, константа
Определить линии тока,
линии равного потенциала, поле скорости
Слайд 34х
y
Линия тока
Пример №1
На линии тока функция тока сохраняет постоянное значение
Слайд 35Найти поток скорости через отрезок [i,1].
Найти энергию объема, заключенного внутри
контура [(1), (1, i), (i), (0)]
Пример №1
Слайд 37х
iy
i
1
Энергия объема, заключенного внутри контура [(1), (1,i), (i), (0)]
(1, i)
Слайд 38х
iy
i
1
Энергия объема, заключенного внутри контура [(1), (1,i), (i), (0)]
(1, i)
Слайд 39Пример №2
a, b – вещественные
Найти: потенциал скорости, функцию тока, скорость,
комплексную скорость, линии тока
Слайд 42Пример №2
вдоль линии тока
Линии тока определены как:
х
iy
a
b
= const
Слайд 43Пример №2
Найти поток через отрезок [(0), (a, -bi)]
Найти энергию объема,
ограниченного контуром [(1. i), (-1. i). (-1. -i), (1. -i)]
Найти
циркуляцию скорости по этому контуру
Слайд 44Найти поток через отрезок [(0), (a, -bi)]
Пример №2
х
iy
a
b
= const
Слайд 45Найти энергию объема, ограниченного контуром [(1, i), (-1, i). (-1,
-i), (1, -i)]
Пример №2
х
(-1, i)
(1, i)
(-1, -i)
(1, -i)
Слайд 46Пример №3
Найти потенциал скорости, функцию тока, компоненты скорости
Слайд 48Пример №3
Найти линии тока
Вектор скорости нарисовать
Нарисовать вектор комплексной скорости
Можно ли
заменить оси координат твердыми стенками?
Слайд 49Пример №3
х
y
Линии х=0 и у=0 являются частями одной и той
же линии тока =0.
z
Слайд 50Пример №3
Нарисовать линии равного потенциала
Слайд 51Пример №3
y
на линии равного потенциала
х
Слайд 52Пример №3
Найти поток скорости через отрезок [i,1]
Слайд 531. Уравнение Фридмана и Гельмгольца
2. Можно ли вызвать движение неподвижной
идеальной жидкости, если приложить постоянное давление по всему объему?
Контрольная работа
Слайд 54A
B
х
у
Записать через функцию тока
Записать через потенциал скорости
Слайд 56Пример №4
Найти потенциал скорости и функцию тока
Слайд 58Пример №4
Определить комплексную скорость
Слайд 59Пример №4
Значение скорости становится бесконечно большим в начале координат. Исключаем
эту точку, окружив произвольной замкнутой линией.
Слайд 60Начало координат - особая точка для комплексного потенциала (простой полюс)
и для комплексной скорости (двукратный полюс). Движение потенциально везде, кроме
особой точки. Линии тока незамкнутые.
Пример №4
Слайд 61Запишем z в полярных координатах
Пример №4
Слайд 62Запишем z в полярных координатах
Пример №4
Записать r, через х,у
Записать
х,у через r,
Слайд 64Пример №4
Нарисовать
линии тока
линии равного потенциала
Слайд 67Пример №4
Определить и построить компоненты скорости ur, u, для
= /4
Слайд 68Пример №4
Определить поток через отрезок [(0, i), (0, -i)]
Слайд 69Пример №5
Линии тока
Эквипотенциальные линии
Слайд 76Линии = 0 и
представляют собой части одной и той
же линии тока = 0.
Если положить
, то получим безвихревое движение в углу, между двух твердых наклонных стенок
Пример №6
= 0
= 0
Слайд 77Решение:
На линии тока
= const
Пример №6
= const
Построить для тупого
угла
Слайд 80Найти скорость ur и скорость u
Определить значения скорости в начале
координат при
Пример №6
Слайд 81Компоненты скорости в направлении r и в перпендикулярном направлении :
Пример
№6
Слайд 82 <
=
>
В начале координат скорость
равна нулю
В начале координат скорость конечна
В начале координат скорость бесконечна
Слайд 83На участке трубы постоянного диаметра длиной 2м приложен градиент давления
(линейная зависимость от продольной координаты).
Определить градиент давления на этом
участке, если скорость воды возрастает от 0 до 1 м/с, а движение идеальной жидкости. Куда направлен градиент давления?
Слайд 86Пример №7
Найти потенциал скорости и функцию тока
Слайд 87Пример №7
Найти линии тока и линии равного потенциала
Слайд 88=const
На линии равного потенциала
Пример №7
Найти комплексную скорость
Слайд 89В начале координат особая точка для скорости и комплексного потенциала.
Исключаем эту точку, окружив произвольной замкнутой линией.
Пример №7
Записать компоненты
скорости. Построить линии равной скорости
Слайд 90Линии равной скорости
концентрические окружности. В начале координат - особая
точка.
Поле скорости непрерывно и конечно во всех точках кроме одной.
Начало должно быть исключено с помощью описанной вокруг него замкнутой кривой.
Пример №7
Слайд 91Источник из начала координат. Определить поток массы в единицу времени.
=const
Гидродинамическое
истолкование потенциала
Слайд 92Мощность источника 2
Поток массы (мощность источника), проходящий через окружность радиуса
r в единицу времени, определяется произведением радиальной скорости на длину
окружности
не зависит от радиуса (сохранение массы). Если <0, то определяет сток.
Слайд 93Если в точках плоскости z = a1, a2,…an находятся источники
или стоки мощностью 21, 22, …, 2n
k – модуль, k
– аргумент числа (z – ak)
Слайд 94Пример №8
a
Два источника мощностью 2 находятся в точках (а1=а) и
(а2=-а). Определить функцию тока в точках (а i), (- а
i), (0).
Слайд 98Линии тока r = const концентрические окружности.
Описывает течение от источника
Определить
компоненты скорости
Слайд 99Определить ротор скорости
Пример №9
Слайд 100Движение безвихревое везде, кроме начала координат где,
Эту точку
назовем вихревой.
Пример №9
Слайд 101Пример №9
Вычислить потенциал скорости для
= 0
= 2
Слайд 102Потенциал скорости - неоднозначная функция координат на плоскости ОХУ .
При обходе вокруг начала координат величина потенциала меняется на
.
=const
=0
= - 2
Пример №9
Слайд 103Пример №9
Определить циркуляцию скорости
Слайд 104Скорость:
Циркуляция скорости по замкнутому контуру L:
Циркуляцию скорости назовем интенсивностью вихревой
точки
r
L
dL
Пример №9
Слайд 105Вихревая точка, расположенная в начале координат z = 0 создает
плоское движение, определяемое комплексным потенциалом
Пример №9
Слайд 106Если вихревая точка не в начале координат, а в точке
z = a, то
Для n точек с интенсивностями 1,…, n
Слайд 107Точка на комплексной плоскости полностью определяется радиус-вектором с началом в
начале координат, угол отсчитывается от положительного направления оси 0х
х
х1
х2
у1
у2
Слайд 110с
источник мощностью 2 находится в точке (с). Вдоль мнимой оси
располагается твердая стенка. Определить поток через отрезок ab.
Пример №11
a
b
Слайд 112а i
z=b
c
-c
Половина всего потока массы
Слайд 113с
источник мощностью 2 находится в точке (с), вдоль мнимой оси
располагается твердая стенка. Определить поток через отрезок ab.
Пример №12
a
b
Слайд 115с
Пример №12
ai
z = b
Половина всего потока массы
Слайд 116ЗАДАЧА 4
В начале координат помещен сток интенсивности 2 , вдоль
оси х и оси у установлены стенки, образующие прямой угол.
Определить комплексный потенциал и поток через отрезок [z=1, z=i]. Определить скорость в точке z=1.
Слайд 119ЗАДАЧА 5
В точке z=1+i имеeтся источник интенсивности 2 , а
в начале координат сток интенсивности -2 . Вдоль оси х
и вдоль оси у установлены стенки, образующие прямой угол.
Определить комплексный потенциал, линии тока и скорость в точке z=1.
Слайд 123Пример №13
1
-1
i
Две вихревые точки
Какой интенсивностью должны обладать точки, чтобы вертикальная
ось совпадала с линией тока?
Слайд 124Пример №13
1
-1
i
Две вихревые точки
Для произвольной точки на вертикальной оси z
= αi
Слайд 126Для любых , т.е. для любых
Пример №13
Слайд 127Исследовать течение жидкости, которое описывается комплексным потенциалом
a,
b - вещественные
Контрольная работа
Слайд 128
Начало координат представляет собой особенность - совокупность вихревой точки интенсивности
и источника мощностью m =(2)
Вихреисточник
Слайд 130линии тока
линии равного потенциала
= const
Слайд 131Вычеты комплексной скороти,
циркуляция и поток скорости
Слайд 132Структура аналитической функции w(z) вполне определяется распределением на плоскости z
особых точек функции и их характером.
Теория вычетов позволяет выразить циркуляцию
и поток скорости по любому контуру, если для комплексной скорости
известны распределения простых полюсов и им соответствующие вычеты
Слайд 133Если простые полюсы функции U*
лежат в точках z=a1, z=a2,…z=an и
вычеты им соответствующие есть А1, А2,…Аn, то линейный интеграл от
функции U* по замкнутому контуру L , заключающему полюсы в точках z=a1, z=a2,…z=an , дает
Слайд 134Циркуляция скорости по контуру L
Поток скорости через контур L
Слайд 135Выделим действительную и мнимую часть каждого вычета
Тогда получаем
Слайд 140а
-а
=const
источник
сток
Источник и сток равной мощности
т.е. источник и сток расположены в начале координат. Такую пару
называют дублетом.
Слайд 143Пусть малое расстояние между источником и стоком будет обозначено s
z
r1
r2
1
2
s
С
точностью до малых величин второго порядка малости
Слайд 144Разлагаем в ряд
При s 0 получаем для потенциала скорости
Для сопряженной
функции тока по формуле
Получаем
Слайд 145Для комплексного потенциала получаем
Если ось дублета s составляет угол
с 0х
Слайд 146Если на плоскости 0ху в точках z = an помещены
дублеты моменты которых равны Mn , а оси дублетов составляет
угол n с вещественной осью 0х, то комплексный потенциал определяется:
Слайд 147Пример 15
Дублет находится в точке z = a, где а
> 0, вещественное. Определить поток жидкости через отрезок [z =
0, z = i]
Определить горизонтальную составляющу скорости в точке z = i
Слайд 150Пример 16
Определить поток жидкости через отрезок [-a+i, a+i]
Слайд 154Исследовать течение жидкости (плоское, безвихревое), которое описывается потенциалом скорости
, с > 0 - вещественное
Контрольная работа
Какой объем жидкости протекает в единицу времени через отрезок z2 z1 [z1=0, z2=1+i]?
Указать 2 линии тока
Слайд 158ЗАДАЧА 1
Найти линии тока, получить проекции скорости, посчитать поток через
отрезок [z = 0, z = 1+31/2i]
Слайд 161Найти функцию тока. В каких точках находятся источники и стоки?
Найти уравнение линий тока. Показать, что линиями тока являются оси
координат и окружность r = 1.
Какой объем жидкости протекает в единицу времени через отрезок [z1=i, z2=1/2]?
ЗАДАЧА 2
Слайд 162Источники в точках z1=+1, z2= -1; сток z = 0
Слайд 163Уравнение линий тока
Линиями тока, в частности, являются оси координат и
окружность
Слайд 164ЗАДАЧА 3
В верхней полуплоскости имеются 2 источника интенсивности m1, m2
и 2 вихря интенсивности 1, 2. Показать, что если поместить
в сопряженных точках источники той же интенсивности, а вихри интенсивности (-1), (-2), то вещественная ось будет линией тока.
Слайд 165Эти же формулы имеют место для источника, помещенного на одинаковом
расстоянии от двух параллельных твердых стенок, имеющих координаты
х
y
Слайд 166Источники одинаковой мощности на равном расстоянии
Слайд 167Задача
Течение определяется потенциалом
Найти поток жидкости через окружность
И циркуляцию скорости по
этой окружности
Слайд 168A
B
х
у
Записать через функцию тока
Записать через потенциал скорости
Слайд 176Мощность источника 2
Поток массы (мощность источника), проходящий через окружность радиуса
r в единицу времени, определяется произведением радиальной скорости на длину
окружности
не зависит от радиуса (сохранение массы). Если <0, то определяет сток.
Слайд 177Линии тока r = const концентрические окружности.
Слайд 178Скорость:
Циркуляция скорости по замкнутому контуру L:
Циркуляцию скорости назовем интенсивностью вихревой
точки
r
L
dL
Пример №9
![Найти поток скорости через отрезок [i,1].Найти энергию объема, заключенного внутри контура [(1), (1, i), (i), (0)]Пример №1](/img/thumbs/275003894ea270aa67c6a7d0bd0da882-800x.jpg "1
Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс Найти поток скорости через отрезок [i,1].Найти энергию объема, заключенного внутри контура")
![Пример №2Найти поток через отрезок [(0), (a, -bi)]Найти энергию объема, ограниченного контуром [(1. i), (-1. i). (-1.](/img/thumbs/3f5a5735e277be674042c6e6ec7b8f91-800x.jpg "1
Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс Пример №2Найти поток через отрезок [(0), (a, -bi)]Найти энергию объема, ограниченного")
![Найти энергию объема, ограниченного контуром [(1, i), (-1, i). (-1, -i), (1, -i)]Пример №2х(-1, i)(1, i)(-1, -i)(1,](/img/tmb/4/333659/caa250e523a34efb2486b37b0dca2bd7-800x.jpg "1
Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс Найти энергию объема, ограниченного контуром [(1, i), (-1, i). (-1, -i),")
![ЗАДАЧА 1Найти линии тока, получить проекции скорости, посчитать поток через отрезок [z = 0, z = 1+31/2i]](/img/thumbs/84ad86e4d8afa25712633276b8345de6-800x.jpg "1
Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс ЗАДАЧА 1Найти линии тока, получить проекции скорости, посчитать поток через отрезок")
![хiy1iПостроить отрезок [(1,i),(2,-2i)]](/img/thumbs/4ca0d7f70ca2e1a47f9f48de8e5e7e8d-800x.jpg "1
Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс хiy1iПостроить отрезок [(1,i),(2,-2i)]")
](/img/tmb/4/333659/da46b50aa5a1fc4219880f9af6925847-800x.jpg "1
Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс хiyi1Энергия объема, заключенного внутри контура [(1), (1,i), (i), (0)](1, i)")
](/img/thumbs/47083c212ce0fef8259cb5748b421934-800x.jpg "1
Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс хiyi1Энергия объема, заключенного внутри контура [(1), (1,i), (i), (0)](1, i)")
![Найти поток через отрезок [(0), (a, -bi)]Пример №2хiyab = const](/img/tmb/4/333659/e89f561139415543bf54eede7a1604a6-800x.jpg "1
Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс Найти поток через отрезок [(0), (a, -bi)]Пример №2хiyab = const")
![Пример №3Найти поток скорости через отрезок [i,1]](/img/tmb/4/333659/db2fd639826e6d9467c83449517e0a9f-800x.jpg "1
Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс Пример №3Найти поток скорости через отрезок [i,1]")
![Пример №4Определить поток через отрезок [(0, i), (0, -i)]](/img/tmb/4/333659/82061536222605199840417cd236d2fa-800x.jpg "1
Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс Пример №4Определить поток через отрезок [(0, i), (0, -i)]")
![Пример 16Определить поток жидкости через отрезок [-a+i, a+i]](/img/tmb/4/333659/8a546eede4f5229ef209ce35aefce7f9-800x.jpg "1
Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс Пример 16Определить поток жидкости через отрезок [-a+i, a+i]")
![[z1=0, z2=1+i]11хуz1z2](/img/thumbs/664bd16c8c2a3ddca73869de4931eec3-800x.jpg "1
Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс [z1=0, z2=1+i]11хуz1z2")
