Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
21.8. ЛИНЕЙНЫЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим
Содержание
- 1. 21.8. ЛИНЕЙНЫЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим
- 2. Уравнение виданазывается линейным ДУ с постоянными коэффициентами9
- 3. Где у – искомая функция, p, g
- 4. Рассмотрим сначала однородное уравнение:Будем искать решение этого
- 5. Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения (10).
- 6. Вид решения линейного однородного ДУ (10) существенно
- 7. ТЕОРЕМА.Если корни характеристического уравнения вещественные и разныето общее решение однородного уравнения (9) имеет вид:
- 8. Если корни характеристического уравнения вещественные и равныето общее решение однородного уравнения (10) имеет вид:
- 9. Если характеристическое уравнение не имеет вещественных корней,
- 10. ПРИМЕРЫ.Решить дифференциальное уравнение:1
- 11. Решение:Корни вещественные и разные, поэтому общее решение будет иметь вид:
- 12. Решить дифференциальное уравнение:2
- 13. Решение:Корни вещественные и одинаковые, поэтому общее решение будет иметь вид:
- 14. Решить дифференциальное уравнение:3
- 15. Решение:Корни комплексные, поэтому общее решение будет иметь вид:
- 16. Теперь рассмотрим решение неоднородного ЛДУ с постоянными
- 17. ПРИМЕР.Решить дифференциальное уравнение:
- 18. Решение:Сначала находим общее решение однородного уравнения:
- 19. Корни вещественные и разные, поэтому общее решение
- 20. Пусть Тогда Подставляем в уравнение:
- 21. Получаем:
- 22. Вычитаем из второго уравнения первое:Теперь подставляем в первое уравнение:
- 23. Интегрируем эти выражения:Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:Общее решение будет:
- 24. Частное решение неоднородного уравнения можно найти, используя следующую схему:
- 25. 1Пусть правая часть уравнения (9) имеет вид:где
- 26. где Q(х) – многочлен той же степени,
- 27. ПРИМЕР.Решить дифференциальное уравнение:
- 28. Решение:Корни вещественные и одинаковые, поэтому общее решение однородного уравнения будет иметь вид:Сначала решаем однородное уравнение:
- 29. Теперь решаем неоднородное уравнение. Правая часть представляет
- 30. Находим производные и подставляем в исходное уравнение:Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
- 31. Общее решение неоднородного уравнения запишем как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
- 32. 2Пусть правая часть уравнения (9) имеет вид:
- 33. Если числане являются корнями характеристического уравнения, то
- 34. ПРИМЕР.Решить дифференциальное уравнение:
- 35. Решение:Сначала решаем однородное уравнение:
- 36. Корни комплексные, поэтому общее решение будет иметь
- 37. Находим производные и подставляем в исходное уравнение:
- 38. Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:Общее решение
- 39. 3Пусть правая часть уравнения (9) имеет вид:где Р1(х) и Р2(х) – многочлены.
- 40. Если числане являются корнями характеристического уравнения, то
- 41. где R1(х) и R2(х) – многочлены той
- 42. Скачать презентанцию
Уравнение виданазывается линейным ДУ с постоянными коэффициентами9
Слайды и текст этой презентации
Слайд 121.8. ЛИНЕЙНЫЕ ДУ ВТОРОГО
ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рассмотрим случай, когда в уравнении
функции
p(x) и g(x) – постоянные величины.
Слайд 3Где у – искомая функция, p, g – постоянные величины.
Если
f(х)=0, то уравнение называется
линейным однородным.
Если f (х) не равно 0,
то уравнение называется линейным неоднородным.
Слайд 4Рассмотрим сначала однородное уравнение:
Будем искать решение этого уравнения в виде
Где
k - некоторое число.
Находим производные и подставляем в исходное уравнение:
10
Слайд 6Вид решения линейного однородного ДУ (10) существенно зависит от того,
какие корни имеет его характеристическое уравнение.
Обозначим эти корни как k1
и k2.
Слайд 7ТЕОРЕМА.
Если корни характеристического уравнения вещественные и разные
то общее решение однородного
уравнения (9) имеет вид:
Слайд 8Если корни характеристического уравнения вещественные и равные
то общее решение однородного
уравнения (10) имеет вид:
Слайд 9Если характеристическое уравнение не имеет вещественных корней, то общее решение
однородного уравнения (10) имеет вид:
где
-комплексные корни характеристического уравнения.
Слайд 16Теперь рассмотрим решение неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами (9).
Общее решение
неоднородного ЛДУ
с постоянными коэффициентами
находится как сумма общего решения
однородного уравнения и
какого-либочастного решения неоднородного
уравнения.
Слайд 19Корни вещественные и разные, поэтому общее решение будет иметь вид:
Теперь
находим частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянных в виде:
Слайд 23Интегрируем эти выражения:
Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
Общее решение будет:
Слайд 251
Пусть правая часть уравнения (9) имеет вид:
где Р(х) – многочлен.
Тогда частное решение неоднородного уравнения (9) будет иметь вид:
Слайд 26где Q(х) – многочлен той же степени, что и Р(х).
Причем, если m не является корнем характеристического уравнения, то
r=0,
а если является, то r – кратность этого корня.
Слайд 28Решение:
Корни вещественные и одинаковые, поэтому общее решение однородного уравнения будет
иметь вид:
Сначала решаем однородное уравнение:
Слайд 29Теперь решаем неоднородное уравнение. Правая часть представляет собой рассмотренный случай:
m
– не является корнем характеристического уравнения, следовательно r=0. Поэтому частное
решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
Слайд 30Находим производные и подставляем в исходное уравнение:
Частное решение неоднородного уравнения
имеет вид:
Слайд 31Общее решение неоднородного уравнения запишем как сумму общего решения однородного
уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
Слайд 33Если числа
не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного
уравнения (9) будет иметь вид:
Если числа
являются корнями характеристического уравнения, то
частное решение будет иметь вид:
Слайд 36Корни комплексные, поэтому общее решение будет иметь вид:
Теперь решаем неоднородное
уравнение. Правая часть представляет собой рассмотренный случай:
2i и –2i не
являются корнями характеристического уравнения, следовательно частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
Слайд 38Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
Общее решение неоднородного уравнения запишем
как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного
уравнения:
Слайд 40Если числа
не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного
уравнения (9) будет иметь вид:
Если числа
являются корнями характеристического уравнения, то
частное решение будет иметь вид:
