6. 5. Представление наблюдаемых физических величин линейными эрмитовыми

из теории операторов. Вид и свойства операторов координат, импульса, энергии,

проекций и квадрата момента импульса

Результатом решения теоретической задачи волновой (квантовой) механики является нахождение волновой функции .
Эта функция дает статистическое описание недетерминированного поведения микрообъекта: квадрат ее модуля 2* пропорционален вероятности обнаружения частицы в окрестности заданной точки.
Однако в эксперименте, помимо самого факта присутствия частицы, могут определяться ее динамические (способных изменяться) параметры – такие, например, как энергия или импульс.
В классической механике они могут быть вычислены исходя из мгновенных значений координат и импульсов.
Квантовая механика также должна была предложить способ предсказания результатов измерений динамических величин.
Может ставиться задача расчета вероятностей получения тех или иных значений наблюдаемой величины. Или предсказания среднего ее значения.
Процедура определения этих параметров по виду волновой функции не кажется очевидной.

величин волновым функциям:
каждой наблюдаемой величине по определенным правилам ставится

в соответствие линейный эрмитов оператор;
собственные значения этого оператора задают спектр возможных значений наблюдаемой величины, а коэффициенты разложения волновой функции в ряд (или интеграл) по собственным функциям оператора – вероятность обнаружения данного значения в эксперименте.
Эти утверждения представляют (в несколько упрощенном виде) два основных положения нерелятивистской волновой механики – в дополнение к положениям о волновой функции и об уравнении Шредингера.
Естественно, они требуют дополнительных пояснений.

Для начала, приведем некоторые начальные сведения из теории операторов.
В математике функция – это правило, однозначно сопоставляющее элементу некоторого множества элемент другого множества. Чаще всего, число сопоставляется числу.
Оператор – правило, сопоставляющее одной функции другую функцию.

функции  функцию , это запишется как:

Простейший пример – единичный

оператор, сопоставляющий любой функции ее саму:

Нулевой оператор сопоставляет любой функции функцию, тождественно равную нулю.
Или оператор пространственной инверсии, изменяющий знак пространственных аргументов функции:

Оператор называется линейным, если для любых (комплексных) чисел c1 и c2 и для любых функций  и  выполняется равенство:

Нетрудно видеть, что приведенные выше (и далее) операторы линейны.
Простейший из используемых в волновой механике операторов – оператор координаты. Его действие сводится к умножению функции на координату:

на эту функцию.

Оператор дифференцирования сопоставляет любой функции ее производную (первую,

вторую, …) по времени или по координате:
(При использовании таких операторов «шляпки» обычно опускают.)
Суммой операторов называется оператор, действие которого на произвольную функцию вычисляется по правилу:

Произведением операторов называется оператор, действие которого на произвольную функцию вычисляется по правилу:

(Сначала на функцию действует оператор-второй сомножитель, затем на результирующую функцию действует оператор-первый сомножитель.)
Порядок операторных сомножителей может быть важен: в общем случае
.
Говорят, что «умножение операторов некоммуникативно».

называется оператор:

Если коммутатор равен нулю, говорят, что операторы являются коммутирующими.

Пример – операторы производных по разным координатам.
Действие многих операторов существенно изменяет вид функции. Примером может служить тот же оператор дифференцирования.
В отношении каждого линейного оператора можно поставить вопрос о существовании специфических для него, т.н. «собственных функций» f , действие данного оператора на которые сводится к умножению функции на некоторое число f – «собственное значение» (или «собственное число») оператора. Математически это условие выражается «уравнением на собственные значения»:
или просто .
Пример: собственными функциями оператора дифференцирования являются экспоненты. Каждой из них соответствует свое собственное число:

оператора. При этом некоторым значениям собственных чисел могут соответствовать несколько

собственных функций (тогда они называются вырожденными).
Спектры (полные наборы) собственных значений разных операторов существенно различаются. Они могут быть сплошными, например, совпадать со множеством вещественных чисел или находиться в некотором интервале значений. Могут быть дискретными. Могут состоять из дискретной и непрерывной частей.
«Эрмитовы» (самосопряженные) операторы отличаются тем, что все их собственные значения вещественны.
В теории операторов доказывается, что операторы могут иметь общие собственные функции, только если они коммутируют. (Это свойство важно для дальнейшего рассмотрения.)
В теории операторов доказывается также, что наборы собственных функций широкого класса операторов обладают свойствами ортогональности и полноты.

быть разложена в ряд (представлена линейной комбинацией) других собственных функций

того же оператора. Полнота означает, что любую другую (несобственную) функцию можно разложить в ряд по собственным функциям такого оператора. (Формулировки даны для случая дискретных спектров собственных значений. Для непрерывных спектров ряды заменяются интегралами.)

Вернемся к волновой механике.
Шредингер предположил (постулировал) следующее.
Каждой наблюдаемой динамической (способной изменяться) характеристике f микрообъекта (координате, энергии, импульсу и т.д.) может быть сопоставлен (эрмитов) оператор такой, что множество всевозможных (действительных) значений, которые могут быть зафиксированы как результат эксперимента по измерению величины f , совпадает со спектром собственных значений оператора .
Пусть cостояние микрообъекта перед проведением измерений характеризуется волновой функцией  , являющейся решением временнóго уравнения Шредингера.

уравнения Шредингера, одновременно является и решением уравнения
,
то есть, является

одной из собственных функций оператора , то в результате измерения будет получено соответствующее ей собственное значение f . Говорят, что величина имеет определенное значение f .
Если волновая функция микрообъекта не является собственной функцией оператора , то описываемый им физический параметр не имеет определенного значения. Результат его измерения недетерминирован – в опыте может быть получено любое из собственных значений fk оператора .
Вероятность получения данного собственного значения fk определяется из соотношения:
,
где ck – коэффициенты разложения в ряд функции  по (обладающему свойством полноты) набору собственных функций k оператора :
(Считается, что .)

, но могут быть расширены и для произвольный случай.)
В

результате проведения измерения система переходит из исходного состояния  в состояние, характеризуемой собственной функцией k оператора , соответствующей полученному значения параметра f =f k .

Логическое обоснование представления величин операторами:
Состояние микрообъекта полностью определяется волновой функцией.
Какие-либо значения измеримых динамических параметров внутренне не присущи ни самому микрообъекту, ни его состоянию.
Получаемое значение измеряемой величины f является результатом некоторого действия, операции проведения измерения ( ), применяемой к микрообъекту в имеющемся состоянии ().
Сказанное не относится к параметрам, которые в рамках квантовой механики характеризуют сам микрообъект, а не его состояния – таким, как масса (покоя) и электрический заряд.

уже говорилось, имеет вид:
Собственные функции этого оператора

– дельта-функции:
(здесь возникают некоторые сложности с удовлетворением требованию непрерывности)
Условие уравнения на собственные значения

удовлетворяются при любых x0 . Следовательно, спектр собственных значений данного оператора – сплошной и совпадает с множеством действительных чисел.
Легко видеть, что собственные функции оператора координаты именно таковы, что координата объекта может быть достоверно определена.
Измерение координаты предполагает помещение в положении x0 детектора или щели, в идеальном случае – бесконечно узких, и фиксацию факта прихода на них частицы. Взаимосвязь оператора и метода измерения очевидна.

имеет волна де Бройля, представляемая в виде:

Для

волны, распространяющейся вдоль оси x, с учетом соотношения между проекциями импульса (px) и волнового вектора:
(*)
Отсюда или


Это соотношение можно рассматривать как уравнение на собственные значения для оператора проекции импульса, имеющего вид:

Его собственные функции – гармонические волны, представленные (*). Спектр собственных значений – множество вещественных чисел.
Собственные функции именно таковы, чтобы значение проекции импульса было точно определено (через проекцию волнового вектора волны де Бройля).

оператор импульса можно выразить через дифференциальный оператор  («набла», градиента):

Нетрудно

показать, что операторы координаты и одноименной проекции импульса не коммутируют.

Их коммутатор равен
Соотношение неопределенностей Гейзенберга xpx  2ħ можно считать следствием того, что соответствующие операторы не коммутируют.
Некоммутирующие операторы не имеют общих собственных функций, для которых значения координаты и соответствующей проекции импульса имели бы одновременно определенные значения.
Эти собственные функции – гармонические волны и дельта-функции – действительно весьма различны.

~

импульса. Например,
Соответствующие им величины могут одновременно иметь точные значения.
Попарно

коммутируют между собой операторы координат . Следовательно, радиус-вектор микрообъекта может быть точно определен.
Это же относится и к вектору импульса (его компоненты
попарно коммутируют) – но не одновременно с радиус-вектором.

Оператор полной энергии (гамильтониан)
В классической физике функция Гамильтона представляет полную энергию системы через импульсы и координаты частиц. Включает в себя части, представляющие потенциальную и кинетическую составляющие энергии. Для одной частицы массы m в силовом поле, описываемом зависимостью потенциальной энергии от координат функция Гамильтона имеет вид:


Составим соответствующий оператор, используя полученное выражение для операторов проекций импульса.

энергии.
Для потенциальной энергии (функции только координат):
или
(при наличии зависимости от времени

оператор имел бы тот же вид)
Функцию кинетической энергии можно представить как:

Квадрату проекции импульса соответствует оператор:

Оператор кинетической энергии запишется:


И, наконец, оператор полной энергии (гамильтониан) частицы в силовом поле:


Эта запись уже встречалась нам в уравнении Шредингера, полученном (нестрого) из волнового уравнения через уравнение Гельмгольца.

собственные значения гамильтониана. Ранее оно (для пространственных частей полных волновых

функций) было получено нами из других соображений.
Ему удовлетворяют волновые функции состояний, характеризуемых определенными значениями энергии E.
Следовательно, спектр собственных значений оператора Гамильтона для заданного вида силового поля задает спектр значений энергии системы.
Теория показывает, что этот спектр дискретен, если волновые функции пространственно ограниченны – например, размерами атома. Таким образом, волновая механика объясняет дискретность «разрешенных» значений энергии (стационарных состояний) атома без необходимости введения дополнительных постулатов.

Гамильтониан (в отличие от операторов координат и импульса) определяется конкретными условиями, в которые помещается описываемый микрообъект или система микрообъектов в рассматриваемой задаче.

для других практически важных случаев. С этого шага часто начинается

решение квантовомеханических задач.
Например, гамильтониан системы двух частиц, имеющих массы m1 , m2 , электрические заряды q1 , q2 и взаимодействующих посредством кулоновской силы:

Здесь r12 – расстояние между точками, имеющими координаты x1, y1, z1 и x2, y2, z2. В лапласианах производится дифференцирование по координатам соответствующих частиц:
и .

Искомая волновая функция должна быть определена в конфигурационном пространстве:
 =  (x1,y1,z1,x2, y2, z2)

основных интегралов движения (сохраняющихся величин). Для частицы с определенными координатами

и импульсом представляется в виде векторного произведения:

Его декартовы проекции: Lx=ypz – zpy ; Ly=zpx – xpz и Lz=xpy – ypx .
Им можно сопоставить операторы:
, и .
Нетрудно показать, что эти операторы не коммутируют друг с другом:
, ,

Следовательно, у них нет общих собственных функций и нет состояний, в которых значения хотя бы двух проекций момента импульса были бы одновременно определены.
Следовательно, полный вектор момента импульса в волновой механике не может быть определен (не может иметь определенного значения).

импульса. Его вид:

Можно показать, что он коммутирует с любой из

своих проекций:

Следовательно, существуют состояния, для которых одновременно определены квадрат (а значит, и модуль) момента импульса и одна из его проекций.
Можно условно (!!) представить себе ситуацию прецессии (вращения) вектора момента вокруг некоторого направления, при которой его проекция на это направление сохраняется. В действительности, в волновой механике никакого вращения вектора момента не происходит – как не происходит движения частицы в состояниях, где ее координаты не определены.
Можно вспомнить, что в модели атома водорода Бора-Зоммерфельда два из трех квантовых чисел определяли именно модуль и проекцию момента количества движения на выбранное направление.