Programma_1_kursa.ppt

бакалавров (направление строительство) (2-й семестр) на 2012 г.
Составитель:
докт. физ.-мат. наук,

кинематика
статика

модели в механике: материальная точка, ТТ,ДТ

Сила

Система

замене данной системы сил, приложенных к твердому телу,

Есть и другие: (i) определение условий устойчивости движения или равновесия; (ii) определение возможных положений равновесия; и т.д.

Вторая задача заключается в формулировании условий равновесия тела под действием данной системы сил

СТАТИКИ
6
Любой объект (тело) можно моделировать материальной точкой, если

Твердое тело – система взаи- модействующих материальных точек, расстояние между которыми не меняется со временем: rij (t) = const

Любое тело можно моделировать системой взаимодействующих материальных точек

материальных точек, расстояние между которыми с течением времени

Механическая система – совокупность взаимодействующих или свободных материальных точек или тел

Деформируемое тело можно моделировать твердым на временах t << T, где Т – время деформации

(тел)
Силы возникают
при непосредственном контакте тел (точечные и распределенные

при наличии силовых полей (действуют в каждой точке пространства)

Сила – векторная величина. Ее действие характеризуется модулем, точкой приложения и направлением

Прямая, вдоль которой направ- лена сила (LM), называется линией действия силы

, называется

Если действие на тело системы сил можно заменить действием другой системы , то такие системы сил называются эквивалентными

Две одинаково направленные силы, приложенные к одной точке и равные по модулю, называются равными

Если система сил эквивалентна одной силе то последняя называется равнодействующей

Система сил называется уравновешенной (эквивалент- ной нулю) , если под ее действием тело покоится или равномерно и прямолинейно двигается

тело находится в равновесии под действием двух сил тогда и

Эта аксиома определяет простейшую уравновешенную систему сил, т.е. систему сил, эквивалентную нулю

данной системы сил на твердое тело не изменится, если к

Следствие из 1-й и 2-й аксиом

Точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия

Доказательство

Приложим систему сил

Пусть и их линии действия совпадают

А1

А2

А2

к твердому телу в одной точке, можно заменить равнодействующей, приложенной

Следствие

Силу можно разложить единственным образом по двум заранее выбранным направлениям

тел равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в

Замечание

Силы и приложены к разным телам и не образуют уравновешенной системы сил

не нарушится, если его заменить абсолютно твердым
Пример. Равновесие гибкой

Эта аксиома дает необходимое, но не достаточное условие равновесия деформируемых тел

Замечание

Необходимо, чтобы силы были равны по величине и противоположно направлены

Эти силы должны быть растягивающими

свободной, если ее перемещения (положения и/или скорости) ничем

Механическая система, перемещения (положения и/или скорости) которой ограничены называется несвободной

Ограничения, налагаемые на положения и/или скорости механической системы, называются связями

тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить

Сила реакции связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не позволяет телу перемещаться

Невесомый стержень
Неподвижная шарнирная опора
Стержневая опора
Подвижная шарнирная опора

Подпятник

Система сходящихся сил (ССС)

Теорема о равнодействующей ССС

действия которой пересекаются в одной точке, называются системой сходящихся сил

1.2.2. Теорема о равнодействующей CCC
Система сходящихся сил имеет равнодействующую,

Перенесем силы в точку
пересечения линий действия

2.2. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ

1.2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

21

– проекции
равнодействующей на оси x, y, z
2.2. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ

быть найдена геометрически
Она является замыкающей

на тело произвольной ССС эквивалентно действию одной силы, равнодействующей

Но если

Геометрически это условие означает замкнутость силового многоугольника сил

плоская ССС, скажем, в плоскости xy, то данная система уравнений

Это векторное уравнение содержит сумму трех взаимно перпендикулярных векторов. Поэтому оно удовлетворяется только, если нулю равен каждый из слагаемых

,

Тело под действием ССС находится в равновесии, если

эти силы должны быть равны по величине и противоположно направлены
2.4.

Линия действия силы проходит через С.

1.2.6. Теорема о трех силах

Если твердое тело находится в равновесии под
действием трех сил, причем линии действия двух
из них пересекаются, то эти силы образуют ССС

Доказательство

С

Теорема доказана

тело от связей и изобразить действующие на него активные силы

1.2.7. Алгоритм решения задач статики

2.5. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИКИ

Замечание

Если число неизвестных не превышает числа уравнений
равновесия, то система называется статически определенной,
в противном случае – статически неопределенной

силы относительно точки

Момент силы относительно оси

и в ту сторону, откуда вращение тела происходит

Моментом силы относительно точки О называется вектор , равный векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы и силы:

1.3.1. Момент силы относительно точки

A

O

β

h

Плечо силы h – это кратчайшее расстояние от точки относи-тельно которой вычисляется момент до линии ее действия

–

1.3.1. Момент силы относительно точки

1.4. МОМЕНТ СИЛЫ

18

знак плюс, если
под действием силы тело поворачивается против

1.3.2. Момент силы на плоскости

1.4. МОМЕНТ СИЛЫ

20

A

Y

Z

O

X

Вектор момента силы имеет одну
составляющую и направлен перпен-
дикулярно плоскости, в которой лежит
сила и центр

доказана
Доказательство
Момент равнодействующей системы сходящихся сил относительно произвольной точки O равен

действием данной
силы будет вращаться
относительно оси

Моментом силы относительно оси OZ называется скалярная величина, равная алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси относительно точки пересечения данной оси с этой плоскостью

Это вращение характеризу-
ется скалярной величиной,
называемой моментом силы
относительно оси Oz

За вращательное движение отвечает сила

1.4. МОМЕНТ СИЛЫ
24
O
Z
Y
X


A
Чтобы найти момент силы F относительно оси Oz,

Моменты сил относительно осей в системе координат ОXYZ равны проекциям момента силы относительно начала координат О

x

y

Аналогично

Теорема

Теорема о сложении двух параллельных сил,
направленных

сторону, имеет равнодействующую, равную по модулю сумме

1.4.1. Теорема о равнодействующей двух сил

СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ


...





11

Дана СПС
Равнодействующая сил
и
Введем систему координат

Далее

имеем

1.4.2. Центр параллельных сил

единицу длины линии,
называется интенсивностью нагрузки q













13

1.4.3. Распределенные силы

ные части любого тела, лежащего на поверх-

Р

Равнодействующая сил тяжести, действующая
на каждую частицу тела, приложена в центре
данной системы параллельных сил и равна
сумме сил тяжести (весу тела)

Точка приложения равнодействующей сил тяжести,
действующих на тело, и называется центром тяжести тела

прямоугольной сеткой


Каждый из полученных

Радиус-вектор центра тяжести
определяется соотношением

имеет плоскость или ось симметрии, то его центр тяжести лежит

тело, вес которого P, имеет полость заданного объема V. Если

Радиус-вектор тела без полости тогда равен

для тела с полостью

Задача 8

y

x

2

1

Теорема о равнодействующей двух
параллельных сил, направленных

действия которых параллельны, но силы направлены

1.5.1. Теорема о равнодействующей двух сил

следует, что

Под действием пары сил тело вращается
и это вращение характеризуется
моментом пары

Такая система сил не имеет
равнодействующей и
называется парой сил

1.5.2. Пара сил

называется
плоскостью действия пары
Расстояние между линиями

Для пар сил, расположенных в одной плоскости можно использовать понятие алгебраического момента пары: M = ±Fd. Знак "плюс" берется, если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, "минус" – по ходу.

А

B

M

Пусть дана пара сил

1.5.3. Момент пары

равен







Сумма моментов сил пары относительно любой точки О

B

O

x

z

y

А

=

Введем систему координат Оxyz

1.5.4. Момент пары как вектор

как
то

ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПАР СИЛ
Дана пара сил
с моментом m

Все пары сил, имеющие один и тот же момент, эквивалентны.

Доказательство

Разложим каждую из них по двум направлениям на силы

Все пары сил, имеющие один и тот же момент, эквивалентны.

A
B
Из теоремы об эквивалентности пар следует, что
для

Докажем сначала теорему для двух пар сил

Для N пар можно доказательство получается по индукции.

ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ ПАР СИЛ

Действие на тело системы пар с моментами
Эквивалентно действию одной пары с моментом

Рассмотри две пары сил

с моментом

РАВНОВЕСИЯ
Действие на тело произвольной системы пар сил с

Для того чтобы тело под действием системы пар тело
находилось в равновесии, необходимо и достаточно,
чтобы

Уравнения равновесия

Для плоской системы сил

движение тела
1.5.8. Жесткая заделка
2.5. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИКИ
Графическое представление
Реакция жёсткой заделки

Пример – балка, один конец которой защемлен

Реакция жесткой заделки

Теорема о параллельном переносе силы

Главный вектор и главный

ТЕОРЕМА СТАТИКИ
58
Доказательство
Действие на твердое тело силы ,

A

Добавим к силе уравновешенную
систему сил в точке В

В

Но силы образуют пару сил с
моментом

Теорема доказана

, равный сумме всех сил системы


Замечание
Главный вектор определен для

вектор , равный сумме моментов
всех сил системы

Замечание

Главный момент меняется при смене центра приведения

Действительно, , а

можно заменить одной силы, приложенной в произвольно выбранной точке (центре

Пользуясь леммой о параллельном переноса силы, перенесем их все
параллельно в точку А

1.6.4. Теорема Пуансо (1804 г.)

~

~

A

…

А

Теорема доказана

СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ







11

Пусть дана произвольная система сил

Но

1.6.5. Уравнения равновесия

все силы находятся в плоскости Oxy. В этом случае проекция

1.6.6. Уравнения равновесия ПСС

Вторая форма уравнений равновесия ПСС (АВ Ox)

Третья форма уравнений равновесия ПСС (точки А, В, С не должны лежать на одной прямой)

– величины,
не зависящие от выбора центра приведения.
II статический инвариант –

I статический инвариант – главный вектор системы сил

Действительно,

поскольку

– уравновешенная система сил

А

поскольку

– система сил приводится к паре с моментом, равным . Главные моменты относительно всех точек в этом случае равны:

, но – в этом случае система сил приводится к равнодействующей. Действительно,

, но

А

~

покоя

Законы трения скольжения

Реакции связей при учете

Возникает сила, препятствующая движению под действием силы



Реальная поверхность


Сила

Движение возникает лишь когда

Закон Кулона-Амонтона

Как определить ?

Коэффициент трения покоя (статический коэффициент трения)
определяется лишь свойствами

трения имеем














– угол трения
Конус с вершиной в точке касания тел,

под действием силы
при заданном значении угла

Сдвинется ли тело, если при заданном
значении угла увеличивать модуль силы
F?

Если внешняя сила F лежит внутри конуса трения, то сколько ее не увеличивай, тело не сдвинется (заклинится)

P движется по плоской шероховатой поверхности
Закон Кулона-Амонтона

Сила трения направлена противоположно

катиться по поверхности,
необходимо приложить силу
На катящийся

Противоречие связано с ограниченностью
применимости в данном случае модели твердого
тела. Соприкасающиеся при качении диска тела
деформируются, их происходит вдоль некоторой
площадки АВ

Если рассмотреть схему на верхнем рисунке, то качение должно
начаться при любой сколь угодно малой силе Q, что противоречит опыту

А

В

k – коэффициент трения качения

о ферме

Статически определимые простые плоские

геометрически неизменяемая конструкция, состоящая из невесомых прямолинейных стержней, соединенных идеальными

Шарнирные соединения называются узлами фермы

Плоской называется ферма, все стержни и шарниры которой лежат в одной плоскости

Узлы фермы будем обозначать большими латинскими буквами
A, B, … G

Стержни пронумеруем

стержнях фермы методом вырезания узлов и/или методом сечений ( Риттера)
Расчет

арабскими цифрами:
1, 2, 3, … 9
2
3

4

5

6

7

8

9

1

I

II

III

IV

V

VI

A

B

y

x

Следует учесть, что стержни находятся в равновесии.
Поэтому реакции соединительных шарниров должны быть
равны по величине и противоположно направлены

Пронумеруем узлы фермы
римскими цифрами: I, II,…, IV

1.8.3. Метод вырезания узлов

Рассмотрим равновесие каждого
узла и составим для него уравнения
равновесия, cчитая условно все
стержни растянутыми и направляя
реакции шарниров от узлов

необходимо определить усилия в
каких-то отдельных стержнях
фермы,

Проведем сквозное сечение z–z через стержни 6,7,9

Пользуясь принципом отвердевания, рассмотрим равновесие
одной из частей фермы, например, правой
Составляем 3 уравнения равновесия для этой части фермы

Последовательность действий

2

3

4

5

8

1

A

B

y

x

IV

VI

V

IV

VI

V

1.8.4. Метод сечений (Риттера)

кН, М = 3 кНм
Определить реакции внешних
и внутренних связей

M

45о

А

С

В

Система статически неопределимая

Метод расчленения

и расчленяем конструкцию на
две части
Балка СD

Дана конструкция, состоящая из двух однородных балок AB и CD весом P и длиной l, AC = 0.7l

Определить реакции жесткой заделки А, шарнирной опоры D и давление в точке С на балку AB

Балка АВ

Способы задания движения точки

Траектория точки

Скорость точки и годограф скорости

раздел теоретической механики, в котором изучается движение тела с геометрической

Задачи кинематики

Определение математических способов задания движения тела
2. Определение для заданного способа задания движения тела его кинематических характеристик

Движение материальной точки – это изменение ее положения относительно какого-либо другого тела (тела отсчета) с течением времени

Положение объекта задается расстоянием до некоторого другого объекта и является относительным. Относительным является и само движение

Постулируется существование не связанных между собой
абсолютного пространства и

Пусть точка М движется относительно
системы отсчета

O

С течением времени положение точки М
относительно данной системы отсчета
меняется

Камера Вильсона. Визуализация траекторий элементарных частиц

ТОЧКИ.
Пусть точка М движется вдоль траектории АВ
Выберем на

s = s(t)

Закон движения точки вдоль траектории

Стоит заметить, что уравнение s = s(t) определяет положение точки на траектории, а не путь, пройденный ею

M1

M

M

Пройденный путь равен

z – функции времени
Δy
–

Пусть точка M движется вдоль

Коэффициент трения покоя

Приращение траектории Δs за время Δt равно

где

траектории


M(t)
r(t)

ΔS
Пройденный путь равен Δs ~ Δr
Скорость материальной

Введем среднюю скорость

M(t+Δt)

Переходя здесь к пределу Δt → 0, получим мгновенную
скорость точки

точки?
Пусть материальная точка М движется
вдоль траектории
Определим

Таким образом, ускорение точки – это векторная кинематическая
величина, характеризующая быстроту изменения ее скорости и
равная первой производной от скорости или второй производной от
радиус-вектора по времени

Определим приращение скорости за
время Δt

Переходя здесь к пределу Δt → 0, получим мгновенное ускорение
точки

M(t)

M(t+Δt)

ускорение, характеризующее изменение
скорости по величине



Т.о.,
– нормальное ускорение,

ускорение

твердого тел
Степени свободы
Поступательное движение твердого тела
Вращение твердого

дано твердое тело (ТТ)
Пусть задан закон движения
По

Закон движения скольки точек нужно
задать, чтобы определить движение ТТ?

Радиус-вектор произвольной точки k твердого тела равен

Модуль вектора постоянен, но относительная скорость

Таким образом, знание кинематических характеристик одной точки твердого
тела не позволяет определить кинематические характеристики любой другой
его точки

1, 2, 3
Поскольку, однако, в твердом теле расстояния между

Положение трех точек твердого тела в произвольный момент
времени характеризуется девятью координатами

Число независимых параметров (или координат),
определяющих положение системы в пространстве,
называется числом степеней свободы

прямолинейное движение твердого тела является поступательным
Поступательным называется такое движение

Однако есть примеры поступательных движений, когда траектории отдельных его точек вовсе не являются прямыми линиями

Cпарник АВ при вращении кривошипов АС и BD также движется поступательно, он остается параллельным самому себе

простым сдвигом на постоянный вектор , это

2.2.4. Теорема о кинематических характеристиках

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС

2.2. КИНЕМАТИКА ТТ

99

При поступательном движении твердого тела все его точки
описывают конгруэнтные траектории и имеют в каждый
момент времени одинаковые скорости и ускорения

Для любых двух точек А и В

Доказательство

или

2.2. КИНЕМАТИКА ТТ
100
Введем подвижную систему координат

Положение твердого тела полностью опреде-
лится углом поворота φ этого тела вокруг оси

Угол поворота φ тогда можно определить как
угол, образуемый между осями в плоскости ху

B(t)

φ

φ

K

φ

При повороте тела на угол φ точка В поворачивается вокруг оси также на этот угол

Закон движения произвольной точки тела определяется
тогда уравнением

Это уравнение называется законом вращательного
движения твердого тела

КИНЕМАТИКА ТТ
101
За промежуток времени Δt тело повернется на

Закон движения имеет вид:

Вектор угловой скорости ω направлен вдоль оси вращения в сторону,
откуда это вращение видно происходящим против часовой стрелки

B(t)

φ

φ

K

φ

Переходя к пределу, получим мгновенную
угловую скорость

Угловая скорость измеряется в радианах в секунду или числом
оборотов в минуту

КИНЕМАТИКА ТТ
102
Если за промежуток времени Δt угловая скорость тела

Замедленное вращение

Переходя к пределу, получим мгновенное угловое ускорение

Размерность угловой скорости и углового ускорения:

Ускоренное вращение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ССС

2.2. КИНЕМАТИКА ТТ
103
– вращательное ускорение


Определим теперь ускорение

Действительно,

K

– центростремительное
ускорение

ССС

2.2. КИНЕМАТИКА ТТ
104
В общем случае твердое тело

но

Если lx=ly=0, то тело вращается вокруг оси Oz и,
как мы установили, , где φ – угол поворота
тела вокруг этой оси

Угловая скорость вращения тела вокруг оси
снова можно определить соотношением

где

Аналогично, если ввести углы поворота тела φx, φy и относительно двух
других осей, то

Т.о., вращение тела относительно произвольной оси можно представить как суперпозицию вращений относительно трех осей неподвижной декартовой системы отсчета

с угловой скоростью ω1. Определить угловую скорость вращения вала II,

Решение

Подбирая радиусы колес, можно, таким образом, по заданной угловой скорости ωI вала I получить любую наперед заданную скорость ωII вала II

B

Колесо 1 жестко скреплено с валом I, поэтому
ωI = ω1

Аналогично ω4 = ωII

Приравнивая скорости в точках A и B контакта колес, получим

Учитывая, что колеса 2 и 3 жестко скреплены, получаем ω2 = ω3

A

или

ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ

2. КИНЕМАТИКА
107
Задание движения

Скорости

ТЕЛА
108










Иллюстрация работы кривошипно-шатунного механизма. Передача движения колесу

Движение твердого тела называется

началом в точке А (полюсе) тела и осями

Будем описывать движение сечения S
относительно неподвижной системы координат
Oxy, жестко связанной с плоскостью P

B

2.3.2. Уравнение плоского движения

2.3. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Положение сечения относительно этой системы
координат определяется положением какого-
либо принадлежащего ему отрезка AB

Этим степеням свободы соответствует движение
вдоль осей Оу и Ох и вращение относительно
некоторой точки

А

109

S

S

B

А

х1

у1

φ

Т.о., плоское движение ТТ слагается из поступательного
движения вместе с полюсом и вращения вокруг полюса

из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и

Скорость произвольной точки М находится
дифференцированием закона движения

2.3.3. Теорема о скоростях точек ТТ

2.3. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТТ

где введена скорость движения точки М относительно полюса А

110

М

А

х1

у1

φ

их
соединяющую, равны
Следствие 1

2.3.4. Теорема о скоростях

2.3. КИНЕМАТИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТТ

Для доказательства достаточно спроеци-
ровать уравнение скоростей на прямую
АМ и учесть, что

111

Скорости произвольных двух точек связаны между собой

М

А

Следствие 2

Если точки А, В и С сечения S лежат на одной прямой, то концы
векторов скоростей этих точек, тоже лежат на одной прямой,
причем

как если бы скорость была

Мгновенным центром скоростей (МЦС) сечения тела (или плоской фигуры) называется точка, скорость которой в данный момент времени равна нулю

2.3.5. Теорема о МЦС

2.3. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТТ

Если угловая скорость рассматриваемого сечения S в данный момент времени отлична от нуля, то мгновенный центр скоростей существует и единственен

Теорема

112

C

Пусть в некоторый момент времени t точки A и B
имеют скорости, не параллельные друг другу

Действительно, рассмотрим сечение S

B

А

S

А’

B’

Теорема доказана

представить как последовательность мгновенных вращений
вокруг мгновенного центра скоростей,

МЦС может быть найден, если известны скорость одной точки тела,
например A, и линия действия скорости второй точки тела, например, B

2.3.6. Нахождение МЦС

2.3. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТТ

Восстановив перпендикуляры к вектору скорости точки
A и к линии действия скорости точки B, находим точку
их пересечения C, которая и будет МЦС

113

Вращение тела происходит туда, куда вектор скорости
vA первой точки поворачивает тело вокруг МЦС

ω

B

C

A

определяется как сумма ускорения полюса и ускорения данной точки во

2.3. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТТ

114

2.3.7. Теорема о сложении ускорений точек

Доказательство

Теорема доказана

A

B

теоретической механике. Часть I. Статика и кинематика. Нов-ск. 2004
Рудяк В.Я.,

Бутенин Н.Н., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. М. 2008

Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М. 2008