АЛГЕБРА (3-й семестр)

задачами

этого раздела являются рассмотрение вопросов:
Сопряжённые корни многочленов.
Неприводимые над R многочлены.
Отделение действительных корней многочлена и метод Штурма.

сопряжённым

будет число .


Пользуясь свойствами сопряжённости,
которые можно распространить на любое число слагаемых и сомножителей. Для любого многочлена

с действительными коэффициентами имеем:

(1)

является корнем многочлена

f(z)=anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0 с действительными коэффициентами, то и сопряженное к нему число
также является корнем этого многочлена.
◘ Пусть z0 – корень f(z). Тогда
f(z0)=anz0n+an-1z0n-1+…+a1z0+a0= 0
и, следовательно, . Но в силу (1)




т.е., z0 – корень многочлена f(z). ◙

1. Сопряжённые корни и неприводимые многочлены

степени и многочлены второй степени с отрицательным дискриминантом.
◘

Пусть p(x) - любой неприводимый многочлен из R[x], степень которого n>1. Достаточно доказать, что его степень равна 2.
Пусть z0 - любой корень многочлена p(x). Этот корень не может быть действительным, так как в противном случае имели бы p(x)=(x-z0)q(x), где q(x) – многочлен положительной степени из R[x], т.е. p(x) был бы приводим над полем R.
Итак, z0 – мнимый корень и тогда (по теореме 1) ž0 тоже является корнем многочлена p(x). Значит,

1. Сопряжённые корни и неприводимые многочлены

и z0 z0 –действительные.
А поскольку p(x)R[x], по теореме о делении

с остатком частное q(x) тоже принадлежит R[x].
В силу неприводимости p(x) многочлен q(x) обязан иметь нулевую степень и, следовательно, p(x) имеет вторую степень.
Понятно, что в этом случае дискриминант многочлена p(x) отрицателен. ◙

1. Сопряжённые корни и неприводимые многочлены

произведение неприводимых над полем R многочленов 1-ой и 2-ой степени

(или только первой, или только второй):




◙

1. Сопряжённые корни и неприводимые многочлены

множителю 2-ой степени – пара сопряженных мнимых корней.
Отсюда заключаем, что

многочлен из R[x] может иметь только чётное число мнимых корней.

1. Сопряжённые корни и неприводимые многочлены

крайней мере один действительный корень.

◘ Мнимых корней – чётное число,

значит действительных – нечётное, т.е. хотя бы один, так как всего корней – нечётное число.
◙

1. Сопряжённые корни и неприводимые многочлены

над полем R,
так как имеет по крайней мере один

действительный корень.

Пример 2. Многочлен f(x)=4x6+9x2+1 приводим над полем R,
так как его степень больше двух. Но f(x) не имеет действительных корней, ведь f(x)>0 при любом xR.

1. Сопряжённые корни и неприводимые многочлены

Приводим?

Приводим?

Почему?

Почему?

в радикалах. Поэтому большую роль играют приближенные методы решения алгебраических

уравнений. Обычно при этом выделяют 3 этапа:
Нахождение границ действительных корней, т.е. указание такого промежутка (a,b), в котором находятся все действительные корни многочлена.
Отделение корней, т.е. нахождение таких интервалов (ai,bi), в каждом из которых лежит только один действительный корень.
Приближенное вычисление самих корней, т.е. построение последовательности, сходящейся к тому или иному корню.

f(z)=anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0 – многочлен степени n  1 из кольца C[z]

и A=max{|a0|,|a1|,…,|an-1|}, то при любом kR+ из неравенства



вытекает неравенство:

(2)

(3)

получаем, что
(4)

ввиду цепочки (5), имеем:



Тогда в силу (4) получаем требуемое:

◙
(2)
(4)

действительных корней многочлена f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  R[x].

По лемме имеем: если

тогда ,

где
Следовательно, при таких x

находятся в промежутке (–M,M), где



Таким образом мы указали один из

способов (не самый точный) для нахождения границ действительных корней.
Пример 3. Найти границы действительных корней многочлена f(x)=2x5 – 3x2 + 6.
Имеем A = 6, |a5| = 2, M = 6/2 + 1 = 4.
Таким образом, все действительные корни f(x) находятся в промежутке (–4; 4). ◙

?

f(x) с действительными коэффициентами.

Один из этих способов – графический –

заключается в том, что используя аппарат математического анализа, исследуют функцию f(x) и приближенно рисуют её график. При этом возникает возможность указать приближенно и промежутки, в которых находятся корни. Разумеется, используя этот метод, мы не гарантированы от ошибок.

Штурма, имеющий чисто алгебраический характер. Изложим суть этого метода (без

доказательства основной теоремы Штурма).
Рассмотрим некоторую систему чисел, например, 2, –7, –11, 13, –14. Здесь знаки чередуются следующим образом: +, –, –, +, – . Число перемен знаков в этой системе равно 3.
Если в системе встречается нуль, то он не принимается во внимание (не имеет знака). Например, в системе 3, –2, 0, 0, –3, 0, 5 число перемен знаков равно 2.

f’(x) алгоритм Евклида, но при этом остатки будем брать с

противоположными знаками:

многочлена f(x).
В дальнейшем будем рассматривать только многочлены, не имеющие кратных

корней. Известно, что такие многочлены взаимно просты со своей производной и поэтому fm(x)=c (const).
Обозначим через w(a) число перемен знаков в системе чисел:

(6)

можно определить корни многочлена.
Замечание. Многочлены ряда Штурма можно находить

с точностью до положительных множителей, т.е., при вычислениях можно умножать и делить многочлены на числа, но только на положительные, так как знак многочленов играет в этом методе существенную роль.

Теорема Штурма.
Если aдействительных корней многочлена f(x)
в промежутке [a,b] равно w(a) – w(b).

– 10x + 2.
◘ M = A / |an| +

1 = 10/1 + 1 = 11.
Т.образом, корни находятся в промежутке (-11,11).
Далее находим производную f’(x)=3x2 – 10.
Затем применяя алгоритм Евклида, находим систему многочленов Штурма:





Таким образом, ряд функций Штурма:
x3–10x+2, 3x2–10, 10x–3, 1.

(0,3), (3,5). Можно сузить эти промежутки, учитывая, что на концах

промежутка, имеющего корни, f(x) принимает значения с противоположными знаками.
1. Сузим промежуток (-11, 0)
f(–5)= –125+50+2<0,
f(0)>0 – корень принадлежит (–5,0);

f(–3)= –27+30+2>0 – корень принадлежит (–5,–3);

f(–4)=–64+40+2<0 – корень принадлежит (–4,–3).
◙

3).
f(2) = 8 – 20 + 2 < 0,
f(0)>0 –

корень принадлежит (0, 2);
f(1) = 1 – 10 + 2 < 0,
f(0)>0 – корень принадлежит (0, 1);
3. Сузим промежуток (3, 5).
f(4) = 64 – 40 +2 > 0,
f(3) = 27 – 30 + 2 < 0 – корень принадлежит (3, 4).
Ответ. f(x)=x3 – 10x + 2 имеет три действительных корня находящихся в промежутках (–4,–3), (0, 1) и
(3, 4).