Числовые методы решения дифференциальных уравнений

устанавливающего связь между независимой переменной x неизвестной функцией y и

Порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, называется порядком этого уравнения. Решение дифференциального уравнения (интегрированием) является некоторая функциональная зависимость y=y(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общее решение дифференциального уравнения записывается в виде: y=y(x,c1,c2,…,cn), где c1,c2,…,cn произвольные постоянные.

Решение, полученное из общего решения при фиксированных значениях, называется частным решением уравнения. Постоянные c1,c2,…,cn можно определить, задав n условий. Если эти условия заданы как совокупность значений искомой функции и всех ее производных до (n-1)ого порядка включительно в некоторой течке x0, то задача решения уравнения называется задачей Коши, а заданные условия: y(x0)=y0, y’(x0)=y’0, y”(x0)=y”0,…, yn-1(x0)=yn-10 называются начальными условия.

Если же условия заданы при нескольких значениях x, то задача решения дифференциального уравнения будет называться граничной или краевой задачей.

уравнение называется дифференциальным уравнением, разрешенным относительно производной. Значение производной равно

Общим решением уравнения будет являться семейство функций y=y(x,c1) различающихся значение постоянной c1. Задаем одно начальное условие y(x0)=y0, которое определяет значение c1и конкретное частное решение – задача Коши.

Для простейшего дифференциального уравнения y’=3x2. Общее решение имеет вид y=x3+c, а подставив в общее решение начальное условие x0=1, y0=2 вычислим с=1 и определим частное решение как: y=x3+1

Требуется найти решение на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок интегрирования на

пересечения касательной проведенной к функции y=y(x) в точке (x0,y0) с

Тангенс угла наклона касательной есть значение производной в точке (x0,y0) и задается правой частью дифференциального уравнения, т.е. tg( β)=f(x0,y0). С другой стороны из геометрического представления метода можно записать:

Следовательно

Откуда

и т.д.

Решение будет заключаться в последовательном применении формул:

где i = 1, 2, 3, …, n

Результат будет представлен функцией заданной таблицей.

= -1+0.5*(-(-1/1.5)) = -0.667 x2 = 1.5+0.5 =2

и т.д.

в этой точке
Значение функции y1 в точке x1 определяем,

n
Пример
y1/2 = -2+0.25*(-(-2/1)) = -1.5; x1/2 = 1+0.25 =

= 2 * (x ^ 2 + y)
End
plot(x,y)

x1, x2,… xn, если известны начальные значения (x0, y0 ),

Проинтегрируем левую и правую части уравнения между xi и xi+1 точкой 

Интегрируем методом трапеций 

Интегрируем методом прямоугольники вперед 

Интегрируем методом в среднем 

— неизвестные функции, n — порядок системы.
Решением системы называется

Система дифференциальных уравнений

Обозначив

или

Приводим к системе дифференциальных уравнений

дифференциальные уравнения n-ого порядка