Числовые последовательности

n – 1,  n, п + 1, …
Функцию y =

f(x), x  N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или  y1,  y2, …, yn, … или {уn}.

Величина уn называется общим членом последовательности.
Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой уn = f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена.

5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; …
Заданием аналитической

формулы.
Арифметическая прогрессия:
an = a1 + (n – 1)d
Заданием рекуррентной формулы.
Геометрическая прогрессия:
bn + 1 = bn ∙ q

an =n(n-2)
заполните таблицу

таблицу

натуральных чисел;
2,  4,  6,  8,  10, … – ряд чётных

чисел;
1, 8, 27, 64, 125, … – ряд кубов натуральных чисел;
5, 10, 15, 20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5;
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... – ряд вида 1/n, где nN;
и т.д.

5, 4, 4, 3, 5... Какое следующее число в этом ряду

и по какому принципу расположены числа? 

Ответ: Запишем числа, начиная с нуля, на английском языке: zero 4 one 3 two 3 three 5 four 4 five 4 six 3 seven 5 Количество букв в этих словах и образует данную последовательность. Следующее число 5 (eight)

принципу расположены числа в нижнем ряду? 4     5  

6   7   8   9 61 52 63 94 46 ?

Ответ: 18. Числа нижнего ряда являются квадратами чисел верхнего ряда с переставленными цифрами.

1 835 - 2, то что тогда 688 - ? 
Ответ: 5. Считаем

число колечек в цифрах: 736 - 1 колечко: 6 308 - 3 колечка: 08 144 - 0 колечек 240 - 1 колечко: 0 835 - 2 колечка: 8 ... 688 - 5 колечек: 688

2 ОВЦА - 2 СВИНЬЯ - 3 СОБАКА - 3 КОШКА - 3 УТКА -

3 КУКУШКА - 4 ЛОШАДЬ - 5 ПЕТУХ - 8
Что тогда ОСЛИК?

Ответ: 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными

= 22  1 + 3 + 5 = 9 = 32  1

+ 3 + 5 + 7 = 16 = 42 Может быть, эта закономерность (сумма подряд стоящих нечетных чисел начиная с единицы равна квадрату их числа) сохраняется и дальше? Как это проверить? 

Ответ: Нам нужно найти сумму всех нечетных чисел от 1 до 2n-1 и убедиться, что она равна n2. Это можно сделать разными способами. Мы предпочли геометрический. Возьмем квадрат из n2 клеток и закрасим клетки так, как это сделано на рисунке для n = 6. Квадрат при этом распадается на чередующиеся по цвету участки. Сосчитаем количество клеток в них, начиная с левого верхнего угла. Первый участок состоит из одной клетки, второй - из трех клеток, третий - из пяти и т. д., последний n-й участок состоит из 2n-1 клеток. Следовательно, число клеток в квадрате равно 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2n-1 Это убеждает нас, что нужное равенство выполнено всегда.

члены не больше некоторого числа.

Пример: -1, -4, -9, -16, …, -п2, … - ограничена сверху 0.

Последовательность {уn} ограниченна сверху, если существует число M такое, что для любого п выполняется неравенство
уп ≤ М
Число М называют верхней границей последовательности.

члены не меньше некоторого числа.

Пример: 1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1.

Последовательность {уn} ограниченна снизу, если существует число m такое, что для любого п выполняется неравенство
уп ≥ m
Число m называют нижней границей последовательности.

Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью.

предыдущего:
у1 < y2 < y3 < y4 < …

yn < yn+1 < …

Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п-1, … - возрастающая последовательность.

Последовательность {уn} называют убывающей последовательностью, если каждый ее член меньше предыдущего:
у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > …

Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п–1), … - убывающая последовательность.

Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными

Возрастание и убывание числовой последовательности