Диференціальні рівняння

рівняння в повних диференціалах
- лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку
із

значення незалежної змінної x, невідомої функції y = f(x) і

Порядком рівняння називається максимальний порядок n, що входить до її похідної (або диференціала).

Приклад: y(4) – y + x = 0 - рівняння четвертого порядку.

Функція y(x) називається розв'язкам (або інтегралом) диференціального рівняння якщо при його підстановці рівняння перетворюється в тотожність.

виду:
де x - незалежна змінна, y(x) - невідома функція
Загальний

Приклад: загальний розв'язок:

= 0,
Інтегруємо, отримаємо                         



-

Приклад:





- загальний розв'язок

до рівнянь з відокремлюваними змінними:
Записуємо рівняння у формі:



потім

Це рівняння - з відокремлюваними змінними. Інтегруємо, отримаємо загальний інтеграл:

розв'язок:
Приклад:

видом залежності функції f(x, y) від своїх аргументів:
Це рівняння

Підставляємо в рівняння y = x·u, y ′ = u + x·u ′, отримаємо


(це - рівняння з відокремлюваними змінними),


- це загальний інтеграл рівняння відносно змінних x, u

і її похідна входять до рівняння першої степені:
де p(x),

Приклад:

невідомих функцій u(x) і v(x):
y(x) = u(x)v(x).
Тоді

цей розв'язок довільну сталу C, нам достатньо знайти одну функцію

підставимо в загальний розв'язок                            



Розв'язок задачі:              

y) - неперервно диференційовані) у випадку, якщо його ліва частина

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.

цієї системи знаходимо:


з точністю до довільної диференційованої по y функції

Диференціюємо цю функцію по y і прирівнюємо до виразу, що стоїть у другому рівнянні системи (тобто ), отримаємо диференціальне рівняння з якого можна знайти .

повних диференціалах.
                            .

між собою значення незалежної змінно x, невідомої функції
y =

Загальним розв'язкам (загальним інтегралом) рівняння називається співвідношенням виду:                

послідовним n-кратним інтегруванням.
Перепозначивши сталі, загальний розв'язок запишемо у вигляді

Приклад:

нижчого порядку.
Порядок рівняння виду F(x, y(k), y(k+1), y(k+2), …,y(n)) =

в явній формі до рівняння, - друга, тому робимо заміну

Порядок рівняння


що не містять явно x, може бути знижений на

Приклад: Понизити порядок рівняння:

Змінна x явно до рівняння не входить, тому вважаєм,

тоді                 .

Просто скоротить на p це рівняння неможливо, оскільки можна втратити розв'язки

тому розглядають два випадки:     

частиною