Дифференциальное исчисление функции одной переменной

- квантор следования. (α => β – означает: из α

следует β)
2.  - квантор эквивалентности (α эквивалентно β). В формулировке теорем символ соответствует словам «необходимо и достаточно» или «тогда и только тогда».
3.  - квантор общности. Запись (х:α) означает: « для любого х справедливо утверждение α.

крайней мере один такой Х для которого справедливо предложение α.

1.2.

Множества
Множество – первоначальное понятие. A,B,C,…X,Y,Z.
Элементы множества: a,b,c,..x,y,z.
Конечное множество.
Бесконечное множество.
Пустое множество 

и объединение множеств.



Вещественные числа.
Целые положительные числа 1,2,3,4… образуют мн-во натуральных

чисел. N.

числа: Q
Множество вещественных чисел:

геометрически изображаются точками на числовой оси. Ось:

прямая, указано положительное направление, начало отсчета и отрезок, длина кот. принята за единицу длины.

определяется соотношениями:

-х= x=
x
x<0 x>0
Геометрически: модуль х – расстояние от точки х до 0

расстояние между ними.
Промежутки. Окрестности.
Открытый интервал – (а,в) или ]a,b[ это

множество вещественных чисел, удовл.усл.

обозначается символом:
Далее:

в точке а без включения концевых точек. Конечная точка.

а- а а+ R

окрестности.
1).

0

каждому элементу хХ ставится в соответствие единственный элемент уY, то

это соответствие называется функцией (отображением), определённой на множестве Х со значениями в множестве Y. Элемент х называется аргументом, а множество Х – областью определения функции f(х). Элемент у, поставленный в соответствие элементу х называется значением функции f в точке х. Обозначение: у = f(х).

α  R, α 0;
показательная функция у =ах, а  0,

а  1;
логарифмическая функция у = logах, а  0, а  1;
тригонометрические функции y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx;

y = arcctgx.

y = f(φ(x)) называется сложной функцией (функцией от функции, суперпозицией

функций) аргумента х; аргумент u функции f называется промежуточным. Например, если и U=sinx
то суперпозицией этих функций является .

нечётной, если f (–x) = – f (x). Например, x,

x3, 1/x, sinx, tgx, ctgx, arcsinx, arctgx (cм.рис.) – нечётные функции, а x2, cosx – чётные функции.
Функция f(x) называется возрастающей на Х, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е.
х1, х2 Х, х1  х2  f(x1)  f(x2),
и убывающей на Х, если
х1, х2 Х, х1  х2  f(x1)  f(x2).

Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие на Х функции называются монотонными.

Например, ах, logах (см. рис.) – монотонные функции, возрастающие при а  1 и убывающие при 0 < а < 1.
Функция f(x) называется ограниченной на Х, если существует число М  0, при котором выполняется
 М для хХ. Например, sinx, cosx (см. рис.), arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx – ограниченные функции.

f(х + Т) = f(x) для всех х  R. Т – период функции,

число nТ также является ее периодом.
Рациональные и дробно-рациональные функции
Целая рациональная функция (многочлен, полином) имеет вид

n  N.
Если a является корнем многочлена, то

m и n соответственно. При m < n рациональная дробь

называется правильной, в противном случае – неправильной.