Дифференциальные уравнения

Содержание

1. Дифференциальные уравнения
2. Дифференциальные уравненияОпределениеУравнение, связывающее независимую переменнуюx с неизвестной
3. Дифференциальные уравненияДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕОБЫКНОВЕННОЕВ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХискомая функция зависитот
4. Дифференциальные уравненияОБЩИЙ ВИД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ n-ОГО ПОРЯДКАF –
5. Дифференциальные уравненияОпределениеРешением дифференциального уравнения (1) называется функция
6. Дифференциальные уравненияДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙОбщее
7. Дифференциальные уравненияЗадача о нахождении решения некоторого дифференциального
8. ПримерИз статистических данных известно, что для некоторого
9. РешениеПусть y=y(t) – число жителей региона в
10. РешениеПереходя к пределу при
11. Дифференциальные уравненияОпределениеОтыскание частного решения дифференциальногоуравнения (1) n-ого
12. Дифференциальные уравнения 1 порядкаОБЩИЙ ВИД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
13. Геометрический смысл уравнения (3) D
14. ПримерD – множество точек (x,y), где
15. Дифференциальные уравнения ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
16. Дифференциальные уравненияТеоремаЕсли в уравнении
17. Дифференциальные уравнения с разделенными переменнымиДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С РАЗДЕЛЕННЫМИПЕРЕМЕННЫМИ(5)- ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛПример уравнение с разделенными переменнымиобщий интеграл
18. Скачать презентанцию

Дифференциальные уравненияОпределениеУравнение, связывающее независимую переменнуюx с неизвестной функцией y(x) и ее производными донекоторого порядка n включительно, называется дифференциальным уравнением n-ого порядка.Примерыдифференциальное уравнение1-ого порядка2-ого порядка3-его порядка

Главная
Разное
Дифференциальные уравнения

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Дифференциальные уравнения
Определение дифференциального уравнения (ДУ). Общее и частное

решение ДУ. Задача Коши.

Слайд 2Дифференциальные уравнения
Определение
Уравнение, связывающее независимую переменную
x с неизвестной функцией y(x) и

ее производными до
некоторого порядка n включительно, называется
дифференциальным уравнением n-ого

порядка.

Примеры

дифференциальное уравнение

1-ого порядка

2-ого порядка

3-его порядка

Дифференциальные уравненияОпределениеУравнение, связывающее независимую переменнуюx с неизвестной функцией y(x) и ее производными донекоторого порядка n включительно, называется

Слайд 3Дифференциальные уравнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ОБЫКНОВЕННОЕ
В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
искомая функция зависит
от одной переменной
искомая функция

зависит
от нескольких переменных
Будем рассматривать обыкновенные
дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравненияДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕОБЫКНОВЕННОЕВ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХискомая функция зависитот одной переменнойискомая функция зависитот нескольких переменныхБудем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения

Слайд 4Дифференциальные уравнения
ОБЩИЙ ВИД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ n-ОГО ПОРЯДКА
F – некоторая функция от

n+2 переменных,
x – независимая переменная, y(x) – искомая функция,
- ее

производные

Определение

Дифференциальное уравнение n-ого порядка
называется разрешенным относительно старшей
производной, если оно имеет вид:

(1)

Дифференциальные уравненияОБЩИЙ ВИД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ n-ОГО ПОРЯДКАF – некоторая функция от n+2 переменных,x – независимая переменная, y(x) –

Слайд 5Дифференциальные уравнения
Определение
Решением дифференциального уравнения (1)
называется функция y(x), имеющая производные

до
n-ого порядка включительно, и такая, что ее
подстановка в уравнение

(1) обращает его в тождество

Пример

Решением уравнения является функция

Дифференциальные уравненияОпределениеРешением дифференциального уравнения (1) называется функция y(x), имеющая производные доn-ого порядка включительно, и такая, что ее

Слайд 6Дифференциальные уравнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ
БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ
Общее решение дифференциального уравнения

зависит от произвольных постоянных, число которых
равно порядку дифференциального уравнения
Частное решение

дифференциального уравнения
получается из общего путем придания конкретных
значений произвольным постоянным

Дифференциальные уравненияДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙОбщее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которыхравно порядку

Слайд 7Дифференциальные уравнения
Задача о нахождении решения некоторого
дифференциального уравнения называется задачей
интегрирования

данного дифференциального
уравнения
График решения дифференциального уравнения
называется интегральной кривой
Определение
Общим решением дифференциального

уравнения (1)
n-ого порядка называется такое его решение

которое является функцией переменной x и n
произвольных независимых постоянных

Дифференциальные уравненияЗадача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачейинтегрирования данного дифференциального уравненияГрафик решения дифференциального уравненияназывается интегральной

Слайд 8Пример
Из статистических данных известно, что для
некоторого региона число новорожденных

и число
умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с

коэффициентами пропорциональности и соответственно.

Найти закон изменения численности населения с
течением времени (то есть описать протекание
демографического процесса)

ПримерИз статистических данных известно, что для некоторого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны

Слайд 9Решение
Пусть y=y(t) – число жителей региона в момент
времени t.

Число родившихся в момент времени t равно k1y, а число

умерших равно k2y

Тогда прирост населения за время равен
разности между числом родившихся и умерших за это время:

Обозначим или

РешениеПусть y=y(t) – число жителей региона в момент времени t. Число родившихся в момент времени t равно

Слайд 10Решение
Переходя к пределу при

, получим уравнение

Решим это уравнение:

C – постоянная, определяемая начальным

условием (численностью населения в начальный
момент времени)

РешениеПереходя к пределу при , получим уравнениеРешим это уравнение:C –

Слайд 11Дифференциальные уравнения
Определение
Отыскание частного решения дифференциального
уравнения (1) n-ого порядка, удовлетворяющего n
начальным

условиям вида:

называется задачей Коши
По n начальным условиям определяются значения всех

n произвольных постоянных, входящих в
общее решение диффер. уравнения n –ого порядка

Дифференциальные уравненияОпределениеОтыскание частного решения дифференциальногоуравнения (1) n-ого порядка, удовлетворяющего nначальным условиям вида:называется задачей КошиПо n начальным условиям

Слайд 12Дифференциальные уравнения 1 порядка
ОБЩИЙ ВИД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1-ОГО ПОРЯДКА
(2)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

1-ОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННОЕ ОТНОСИТЕЛЬНО СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ
(3)
f – некоторая функция двух

переменных

Дифференциальные уравнения 1 порядкаОБЩИЙ ВИД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1-ОГО ПОРЯДКА(2)ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 1-ОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННОЕ ОТНОСИТЕЛЬНО СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ(3)f –

Слайд 13Геометрический смысл уравнения (3)
D – множество точек

плоскости OXY, на котором определена функция f(x,y), причем D –

окрестность (вместе с каждой своей точкой содержит и некоторую окрестность этой точки)

Уравнение (3) каждой
точке (x,y) плоскости OXY
сопоставляет направление
касательной к интегральной
кривой y=y(x), проходящей через эту точку

Уравнение (3) задает поле направлений в области D
Решить уравнение (3) найти семейство кривых, отвечающих заданному полю направлений

Геометрический смысл уравнения (3) D – множество точек плоскости OXY, на котором определена функция f(x,y),

Слайд 14Пример
D – множество точек (x,y), где

В каждой

точке (x,y) угловой
коэффициент касательной
совпадает с угловым
коэффициентом прямой,
проходящей через данную
точку и начало координат

Вдоль этих прямых угловой коэффициент постоянен

интегральными кривыми этого уравнения
являются прямые y=cx, где с – произв. постоянная

Поле направлений можно построить на всей
плоскости, кроме оси ОY.

Слайд 15Дифференциальные уравнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ БЕСКОНЕЧНОЕ

МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ
Задача о нахождении решений дифференциального
уравнения (3), удовлетворяющих начальному

условию (4), называется задачей Коши

ДЛЯ ВЫДЕЛЕНИЯ КОНКРЕТНОГО РЕШЕНИЯ, МОЖНО
ЗАДАТЬ НАЧАЛЬНОЕ УСЛОВИЕ

(4)

Дифференциальные уравнения ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ Задача о нахождении решений дифференциальногоуравнения

Слайд 16Дифференциальные уравнения
Теорема
Если в уравнении

функция f(x,y) и ее частная
производная

непрерывны в некоторой
области D, содержащей точку , то существует
единственное решение этого уравнения,
удовлетворяющее начальному условию

(о существовании и единственности решения задачи Коши)

Геометрическая интерпритация теоремы

При выполнении условий теоремы существует единственная интегральная кривая дифференциального уравнения, проходящая через точку

Дифференциальные уравненияТеоремаЕсли в уравнении функция f(x,y) и ее частная

Слайд 17Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С РАЗДЕЛЕННЫМИ
ПЕРЕМЕННЫМИ
(5)
- ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ
Пример

уравнение с разделенными переменными
общий интеграл

Дифференциальные уравнения с разделенными переменнымиДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С РАЗДЕЛЕННЫМИПЕРЕМЕННЫМИ(5)- ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛПример уравнение с разделенными переменнымиобщий интеграл

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Дифференциальные уравнения

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Дифференциальные уравнения
Определение дифференциального уравнения (ДУ). Общее и частное

решение ДУ. Задача Коши.

Слайд 2Дифференциальные уравнения
Определение
Уравнение, связывающее независимую переменную
x с неизвестной функцией y(x) и

ее производными до
некоторого порядка n включительно, называется
дифференциальным уравнением n-ого

Слайд 3Дифференциальные уравнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ОБЫКНОВЕННОЕ
В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
искомая функция зависит
от одной переменной
искомая функция

зависит
от нескольких переменных
Будем рассматривать обыкновенные
дифференциальные уравнения

Слайд 4Дифференциальные уравнения
ОБЩИЙ ВИД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ n-ОГО ПОРЯДКА
F – некоторая функция от

n+2 переменных,
x – независимая переменная, y(x) – искомая функция,
- ее

Слайд 5Дифференциальные уравнения
Определение
Решением дифференциального уравнения (1)
называется функция y(x), имеющая производные

до
n-ого порядка включительно, и такая, что ее
подстановка в уравнение

Слайд 6Дифференциальные уравнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ
БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ
Общее решение дифференциального уравнения

зависит от произвольных постоянных, число которых
равно порядку дифференциального уравнения
Частное решение

Слайд 7Дифференциальные уравнения
Задача о нахождении решения некоторого
дифференциального уравнения называется задачей
интегрирования

данного дифференциального
уравнения
График решения дифференциального уравнения
называется интегральной кривой
Определение
Общим решением дифференциального

Слайд 8Пример
Из статистических данных известно, что для
некоторого региона число новорожденных

и число
умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с

Слайд 9Решение
Пусть y=y(t) – число жителей региона в момент
времени t.

Число родившихся в момент времени t равно k1y, а число

Слайд 10Решение
Переходя к пределу при

, получим уравнение

Решим это уравнение:

C – постоянная, определяемая начальным

Слайд 11Дифференциальные уравнения
Определение
Отыскание частного решения дифференциального
уравнения (1) n-ого порядка, удовлетворяющего n
начальным

условиям вида:

называется задачей Коши
По n начальным условиям определяются значения всех

Слайд 12Дифференциальные уравнения 1 порядка
ОБЩИЙ ВИД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1-ОГО ПОРЯДКА
(2)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

1-ОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННОЕ ОТНОСИТЕЛЬНО СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ
(3)
f – некоторая функция двух

Слайд 13Геометрический смысл уравнения (3)
D – множество точек

плоскости OXY, на котором определена функция f(x,y), причем D –

Слайд 14Пример
D – множество точек (x,y), где

В каждой

Слайд 15Дифференциальные уравнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ БЕСКОНЕЧНОЕ

МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ
Задача о нахождении решений дифференциального
уравнения (3), удовлетворяющих начальному

Слайд 16Дифференциальные уравнения
Теорема
Если в уравнении

функция f(x,y) и ее частная
производная

Слайд 17Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С РАЗДЕЛЕННЫМИ
ПЕРЕМЕННЫМИ
(5)
- ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ
Пример

уравнение с разделенными переменными
общий интеграл

Обратная связь

Что такое TheSlide.ru?

Разделы презентаций

Дифференциальные уравнения

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯДифференциальные уравнения Определение дифференциального уравнения (ДУ). Общее и частное

решение ДУ. Задача Коши.

Слайд 2Дифференциальные уравненияОпределениеУравнение, связывающее независимую переменнуюx с неизвестной функцией y(x) и

ее производными донекоторого порядка n включительно, называется дифференциальным уравнением n-ого

Слайд 3Дифференциальные уравненияДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕОБЫКНОВЕННОЕВ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХискомая функция зависитот одной переменнойискомая функция

зависитот нескольких переменныхБудем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения

Слайд 4Дифференциальные уравненияОБЩИЙ ВИД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ n-ОГО ПОРЯДКАF – некоторая функция от

n+2 переменных,x – независимая переменная, y(x) – искомая функция,- ее

Слайд 5Дифференциальные уравненияОпределениеРешением дифференциального уравнения (1) называется функция y(x), имеющая производные

доn-ого порядка включительно, и такая, что ее подстановка в уравнение

Слайд 6Дифференциальные уравненияДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙОбщее решение дифференциального уравнения

зависит от произвольных постоянных, число которыхравно порядку дифференциального уравненияЧастное решение

Слайд 7Дифференциальные уравненияЗадача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачейинтегрирования

данного дифференциального уравненияГрафик решения дифференциального уравненияназывается интегральной кривойОпределениеОбщим решением дифференциального

Слайд 8ПримерИз статистических данных известно, что для некоторого региона число новорожденных

и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с

Слайд 9РешениеПусть y=y(t) – число жителей региона в момент времени t.

Число родившихся в момент времени t равно k1y, а число

Слайд 10РешениеПереходя к пределу при

, получим уравнениеРешим это уравнение:C – постоянная, определяемая начальным

Слайд 11Дифференциальные уравненияОпределениеОтыскание частного решения дифференциальногоуравнения (1) n-ого порядка, удовлетворяющего nначальным

условиям вида:называется задачей КошиПо n начальным условиям определяются значения всех

Слайд 12Дифференциальные уравнения 1 порядкаОБЩИЙ ВИД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1-ОГО ПОРЯДКА(2)ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

1-ОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННОЕ ОТНОСИТЕЛЬНО СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ(3)f – некоторая функция двух

Слайд 13Геометрический смысл уравнения (3) D – множество точек

плоскости OXY, на котором определена функция f(x,y), причем D –

Слайд 14ПримерD – множество точек (x,y), где

В каждой

Слайд 15Дифференциальные уравнения ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ БЕСКОНЕЧНОЕ

МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ Задача о нахождении решений дифференциальногоуравнения (3), удовлетворяющих начальному

Слайд 16Дифференциальные уравненияТеоремаЕсли в уравнении

функция f(x,y) и ее частная производная

Слайд 17Дифференциальные уравнения с разделенными переменнымиДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С РАЗДЕЛЕННЫМИПЕРЕМЕННЫМИ(5)- ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛПример

уравнение с разделенными переменнымиобщий интеграл

Похожие презентации

Обратная связь

Что такое TheSlide.ru?

Слайд 1ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Дифференциальные уравнения
Определение дифференциального уравнения (ДУ). Общее и частное

Слайд 2Дифференциальные уравнения
Определение
Уравнение, связывающее независимую переменную
x с неизвестной функцией y(x) и

ее производными до
некоторого порядка n включительно, называется
дифференциальным уравнением n-ого

Слайд 3Дифференциальные уравнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ОБЫКНОВЕННОЕ
В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
искомая функция зависит
от одной переменной
искомая функция

зависит
от нескольких переменных
Будем рассматривать обыкновенные
дифференциальные уравнения

Слайд 4Дифференциальные уравнения
ОБЩИЙ ВИД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ n-ОГО ПОРЯДКА
F – некоторая функция от

n+2 переменных,
x – независимая переменная, y(x) – искомая функция,
- ее

Слайд 5Дифференциальные уравнения
Определение
Решением дифференциального уравнения (1)
называется функция y(x), имеющая производные

до
n-ого порядка включительно, и такая, что ее
подстановка в уравнение

Слайд 6Дифференциальные уравнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ
БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ
Общее решение дифференциального уравнения

зависит от произвольных постоянных, число которых
равно порядку дифференциального уравнения
Частное решение

Слайд 7Дифференциальные уравнения
Задача о нахождении решения некоторого
дифференциального уравнения называется задачей
интегрирования

данного дифференциального
уравнения
График решения дифференциального уравнения
называется интегральной кривой
Определение
Общим решением дифференциального

Слайд 8Пример
Из статистических данных известно, что для
некоторого региона число новорожденных

и число
умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с

Слайд 9Решение
Пусть y=y(t) – число жителей региона в момент
времени t.

Слайд 10Решение
Переходя к пределу при

, получим уравнение

Решим это уравнение:

C – постоянная, определяемая начальным

Слайд 11Дифференциальные уравнения
Определение
Отыскание частного решения дифференциального
уравнения (1) n-ого порядка, удовлетворяющего n
начальным

условиям вида:

называется задачей Коши
По n начальным условиям определяются значения всех

Слайд 12Дифференциальные уравнения 1 порядка
ОБЩИЙ ВИД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1-ОГО ПОРЯДКА
(2)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

1-ОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННОЕ ОТНОСИТЕЛЬНО СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ
(3)
f – некоторая функция двух

Слайд 13Геометрический смысл уравнения (3)
D – множество точек

Слайд 14Пример
D – множество точек (x,y), где

Слайд 15Дифференциальные уравнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ БЕСКОНЕЧНОЕ

МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ
Задача о нахождении решений дифференциального
уравнения (3), удовлетворяющих начальному

Слайд 16Дифференциальные уравнения
Теорема
Если в уравнении

функция f(x,y) и ее частная
производная

Слайд 17Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С РАЗДЕЛЕННЫМИ
ПЕРЕМЕННЫМИ
(5)
- ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ
Пример

уравнение с разделенными переменными
общий интеграл