Динамика стержневых систем с распределенными массами 2

(x,t)
aq
aF






x





















x
dx
q (x,t)
F (t)
qin(x,t)
qf (x,t)

0
N0 (t)












dx
N (x,t)
q (x,t)
qin(x,t)
qf (x,t)
интенсивность
сил инерции
– сопротивление
вязкой

1. Статическая
сторона задачи:

Σ x = 0

( 1 )

2. Геометрическая сторона задачи
(соотношение Коши):

( 2 )

3. Физическая сторона задачи:

– закон Гука:

( 3а )

– закон
инерции:

( 3б )

– модель
вязкого
трения:

( 3в )

(x,t)
aq
aF






x





















x
dx
q (x,t)
F (t)
qin(x,t)
qf (x,t)

0
N0 (t)












dx
N (x,t)
q (x,t)
qin(x,t)
qf (x,t)
интенсивность
сил инерции
– сопротивление
вязкой

1. Статическая
сторона задачи:

Σ x = 0

( 1 )

3. Физическая сторона задачи:

– закон
инерции:

– модель
вязкого
трения:

(x,t)
aq
aF






x





















x
dx
q (x,t)
F (t)
qin(x,t)
qf (x,t)

0
N0 (t)












dx
N (x,t)
q (x,t)
qin(x,t)
qf (x,t)
интенсивность
сил инерции
– сопротивление
вязкой

1. Статическая
сторона задачи:

Σ x = 0

( 1 )

(x,t)
aq
aF






x





















x
dx
q (x,t)
F (t)
qin(x,t)
qf (x,t)

0
N0 (t)












dx
N (x,t)
q (x,t)
qin(x,t)
qf (x,t)
интенсивность
сил инерции
– сопротивление
вязкой

Дифференциальное уравнение
вынужденного движения растянутого/сжатого
прямолинейного стержня переменного сечения
с неравномерно распределённой массой
(сопротивление – по модели Фойгта)

– уравнение в частных производных с переменными коэффициентами

Частные случаи:

1. Дифференциальное уравнение
вынужденного движения растянутого/сжатого
прямолинейного стержня переменного сечения
с неравномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

(x,t)
aq
aF






x











x
dx
q (x,t)
F (t)
qin(x,t)

0
N0 (t)









dx
N (x,t)
q (x,t)
qin(x,t)
интенсивность
сил инерции

– уравнение в частных производных с переменными коэффициентами

Частные случаи:

2. Дифференциальное уравнение
вынужденного движения растянутого/сжатого
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

– уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами

Волновое
уравнение

(x,t)
aq
aF






x











x
dx
q (x,t)
F (t)
qin(x,t)

0
N0 (t)









dx
N (x,t)
q (x,t)
qin(x,t)
интенсивность
сил инерции


Частные случаи:
Волновое
уравнение

– уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами

Решение уравнения:

полигармоническая
собственная
составляющая

3. Дифференциальное уравнение
гармонического движения растянутого/сжатого
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

– уравнение в амплитудах перемещений

(x,t)
aq
aF






x











x
dx
q (x,t)
F (t)
qin(x,t)

0
N0 (t)









dx
N (x,t)
q (x,t)
qin(x,t)
интенсивность
сил инерции


Частные случаи:
Решение уравнения:
– уравнение

3. Дифференциальное уравнение
гармонического движения растянутого/сжатого
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

При q(x) = const = q

u0(t)

(x,t)
aq
aF






x











x
dx
q (x,t)
F (t)
qin(x,t)

0
N0 (t)

Частные случаи:
– уравнение в амплитудах перемещений

Решение уравнения по МНП при q(x) = const = q :

q (x,t) = q (x)

F (t) = F

qin (x,t) = qin (x)

* sin ωF t

u0(t) = u0

u0(t)

N0(t) = N0

u (x,t) = u (x)

4. Дифференциальное уравнение
собственных колебаний
растянутого/сжатого
прямолинейного стержня
постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

* sin ω t

Решение уравнения по МНП при q(x) = 0 :

F(t) – сила инерции точечной
массы или реакция
упругой продольной связи

(t)
dx
Mt (x,t)
интенсивность
инерционных
моментов

1. Статическая
сторона задачи:
Σ mx

( 1 )

2. Геометрическая сторона задачи
( погонный угол закручивания ):

( 2 )

3. Физическая сторона задачи:

– закон Гука:

( 3а )

– закон
инерции:

( 3б )

M (t)

m (x,t)

min(x,t)

m (x,t)

– угол закручивания

(t)
dx
Mt (x,t)
интенсивность
инерционных
моментов

1. Статическая
сторона задачи:
Σ mx

( 1 )

M (t)

m (x,t)

min(x,t)

m (x,t)

– угол закручивания

Дифференциальное уравнение
вынужденного движения при кручении
прямолинейного стержня переменного сечения
с неравномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

(t)
dx
Mt (x,t)
интенсивность
инерционных
моментов










M (t)

m (x,t)



























min(x,t)
m (x,t)














– угол

Дифференциальное уравнение
вынужденного движения при кручении
прямолинейного стержня переменного сечения
с неравномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

Частные случаи:

1. Дифференциальное уравнение
вынужденного движения при кручении
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

Волновое
уравнение

Решение уравнения:

полигармоническая
собственная
составляющая

(t)
dx
Mt (x,t)
интенсивность
инерционных
моментов










M (t)

m (x,t)



























min(x,t)
m (x,t)














– угол

Частные случаи:

Волновое
уравнение

Решение уравнения:

полигармоническая
собственная
составляющая

1. Дифференциальное уравнение
вынужденного движения при кручении
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

2. Дифференциальное уравнение
гармонических крутильных колебаний
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

(t)
dx
Mt (x,t)
интенсивность
инерционных
моментов










M (t)

m (x,t)



























min(x,t)
m (x,t)














– угол

Частные случаи:

Решение уравнения:

2. Дифференциальное уравнение
гармонических крутильных колебаний
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

При m(x) = const = m

ϕ0(t)

3. Дифференциальное уравнение
собственных крутильных колебаний
прямолинейного стержня постоянного сечения
с равномерно распределённой массой,
без учёта демпфирования ( сопротивления )

гармонических колебаниях

























F (t)
qin, x(x,t)







qin, y(x,t)





























q (x,t)

M (t)

























J1 (t)
Ji (t)
Jk (t)
Jn

Zn+2 (t)

ZnZ (t)

Z1 (t)

Zi (t)

Zn+1 (t)

Zn (t)

Zk (t)

F (t) = F

q (x,t) = q (x)

M (t) = M

J1 (t) = J1

Jn (t) = Jn

qin, x(x,t) = qin, x (x)

qin, y(x,t) = qin, y (x)

Z1 (t) = Z1

Zn (t) = Zn

* sin ωF t

Канонические уравнения МП в амплитудах перемещений

nZ – n

Типовые задачи
для элементов ОСМП –
с учётом сил инерции
распределённых масс:

qin, y(x)

bj

ej

θbj = 1

4ij * ψ2(νj )

2ij * ψ3(νj )

ij = EIj /lj

4ij

2ij

типовых изгибаемых элементах плоских стержневых ОСМП
с распределёнными массами
от гармонических смещений

От углового смещения

От линейного смещения

Элемент 1-го типа

Элемент 2-го типа

4ij * ψ2(νj )

bj

ej

qin(x)

bj

ej

θbj = 1

3ij * ψ1(νj )

qin(x)

М

М

М

bj

ej

qin(x)

М

bj

ej

qin(x)

М

vbj = 1

vej = 1

Δj = 1

lj

EIj = const