Дисконтирование по простым и сложным процентам. Операции с учётной ставкой

учётной ставкой
1. Сущность и методы дисконтирования.
2. Математическое дисконтирование по простым

процентам.
3. Операции с простой учетной ставкой (наращение и дисконтирование по простой учетной ставке).
4. Математическое дисконтирование по сложным процентам.
5. Операции со сложной учетной ставкой (наращение и дисконтирование по сложной учетной ставке).

по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время

n, необходимо определить сумму полученной ссуды P.
Такая ситуация может возникнуть при разработке условий контракта.
Расчет P (первоначальной суммы) по S (наращенной сумме) необходим и тогда, когда проценты с суммы S (наращенной суммы) удерживаются непосредственно при выдаче ссуды, т. е. вперед, или при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых должником произойдет в будущем.
В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержания называют учетом, а удержанные проценты – дисконтом.
Термин дисконтирование употребляется и в более широком смысле – как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему на конкретный более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостного показателя к заданному, обычно начальному моменту времени.

стоимостью величины S (в зависимости от контекста).
Это понятие одно из

важнейших в количественном анализе финансовых операций, т.к. именно с помощью дисконтирования (а не наращения) учитывается фактор времени в экономических расчетах.
Исходя из целей дисконтирования и вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования:
– математическое дисконтирование
– банковский (коммерческий) учет
В первом случае используются ставка наращения, во втором – учетная ставка.

суммы ссуды: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг,

чтобы получить в конце срока сумму S при условии, что это на долг начисляются проценты по ставке i?


(1)

Устанавливаемая таким путем величина P является современной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя n лет.
Дробь называют дисконтным множителем по простым процентам при математическом дисконтировании. Он показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

P, но и как дисконт с суммы S.
Пример:
Через 180 дней после подписания

договора должник уплатит 500 тыс. руб. Кредит выдан под 30% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дней?



Дисконт равен D=S-P= 500000 – 435560,89=64439,11
Надо сказать, что дисконт как скидка с конечной суммы долга не обязательно определяется через процентную ставку, он может быть установлен по соглашению сторон и в виде абсолютной величины для
всего срока.

простой учетной ставке).
Факультет прикладной информатики

начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды.
Процентные деньги

при этом (т. е. величина дохода от предоставления денег в долг) называют дисконтом (D).
D=S-P
По определению годовая учетная ставка (D) находится как отношение:

, где d – учетная ставка

– формула наращения по простой учётной ставке (2)
Величина представляет собой множитель наращения, в основу которого положена учетная ставка (множитель наращения при антисипативном вычислении простых процентов).

простой учетной ставке (3)
Величина 1 – nd дисконтный множитель при

применении учетной ставки.
Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе К=360 дн.; число дней ссуды обычно берется точным.
При вычислениях с использованием учетной ставки чаще всего возникает необходимость в определении дисконта и первоначальной суммы долга.
Банковский (коммерческий) учет (учет векселей)
Суть операции заключается в следующем.
Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю (или иному платежному обязательству) приобретает его у владельца по цене, меньшей суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т. е. приобретает (учитывает) его с дисконтом, (т. е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт.
В свою очередь владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги, хотя и не в полном объёме, однако раньше указанного в нем срока.
Таким образом, задача сводится к нахождению P и D при известной сумме S, т. е. к определению цены векселя и величины дисконта.

в банке 23 сентября, учетная ставка 16%. Необходимо найти полученную при

учете сумму.
Решение:
Определяем оставшийся до уплаты срок:
сентябрь 30-23=7 дней
октябрь 31 день
ноябрь 16 дней
t=54 дня
P=S (1-nd)=2 000 000(1- 54/360 × 0,16)=1 952 000
D=S-P= 2 000 000-1 952 000 = 48 000 руб.
Необходимость в наращении по учетной ставке возникает при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга.

который выписывается 18 августа со сроком наращения 16 ноября при учетной ставке

16%, есть текущая сумма долга 1 920 000 руб.
Решение:
Август 31-18
Сентябрь 30 t = 90 дней
Октябрь 31
Ноябрь 16


Ставка наращения и учетная ставка применяются для решения сходных задач.
Для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной – дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная – в наращении.

таблицах.
Если проценты начисляются m раз в году, получаем




(4)

В

этом случае табулировать значение дисконтного множителя без предварительных вычислений затруднительно, поэтому проще рассчитать j/m и m×n, а затем воспользоваться таблицами, или использовать специальный калькулятор.

современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов, равная

15% годовых (т. е. проценты начисляются ежегодно).
Дисконтный множитель составит


Современная величина этой суммы равна
P=10 млн. руб. × 0,497176735=4971767,35
т. е. 4 млн. 971 тыс. 765 руб. 35 коп.

ставка процента, тем сильнее дисконтирование (уменьшение), дисконтный множитель меньше,
срока платежа

– с увеличением срока размер современной стоимости убывает,
периодичности дисконтирования – чем чаще происходит дисконтирование, тем оно ощутимее, тем меньше дисконтный множитель.
Инфляционные ставки приводят к бессмысленным результатам даже при относительно небольших сроках: при ставке 200% и сроке 5 лет дисконтный множитель равен 0,004116, т. е. близок к нулю.

сложной учетной ставке)
Факультет прикладной информатики

происходит с замедлением, т.к. каждый раз учетная ставка применяется к сумме,

уже дисконтированной на предыдущем шаге во времени.
Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:
(5)
Эта формула получена следующим образом:

году, т. е. каждый раз по ставке f/m, то формула

приведения имеет вид:
(6)

Формула наращения по сложной учетной ставке: (7)

Величину называют множителем наращения при использовании сложной учетной ставки.
При m-разовой капитализации процентов в году: (8)

По аналогии с номинальной и эффективной ставкой процентов существуют понятия:
номинальная учетная ставка – f (годовая учетная ставка),
эффективная учетная ставка – годовая учетная ставка, которая даст тот же результат, что и m-разовое дисконтирование в году по номинальной ставке f.

4 года, продана с дисконтом по сложной учетной ставке 12% годовых.

Какова сумма дисконта?

а) при дисконтировании 1 раз в год:
P = 10 000 000(1-0.12)4 =10 000 000×0,599695360 = = 5 996 953,60 руб. – цена облигации
Дисконт S-P=10 млн. – 5 млн. 996 тыс. 953 руб. 60 коп.

б) при ежеквартальном дисконтировании:

внимание