Дисциплина Численные методы

Содержание

1. Дисциплина Численные методы
2. Преподаватель Дмитрий Игоревич Балашов
3. Дисциплина состоит из 6 модулей:Численное решение нелинейных
4. Численное решение нелинейных уравнений
5. Общий вид нелинейного уравненияf(x)=0 где x – аргумент, f(x) – функционал одной переменной
6. Существуют различные методы решения нелинейных уравнений Наиболее распространенный: аналитический метод
7. Трансцендентные уравненияПример: Или после преобразования:
8. Для решения таких уравнений можно использовать графический метод:
9. Недостаток графического метода:Низкая точность получаемого результата.Также для решения подобного рода уравнений можно использовать численные методы
10. Теоремао существовании корней уравнения f(x)=0Если на концах
11. Графическая интерпретация теоремы о существовании корней
12. Обратная теорема не верна
13. Большинство численных методов основаны на этой теоремеВ
14. Метод половинного деления (метод дихотомии, метод бисекции)Исходные данные для реализации метода:f(x)=0[a, b]E
15. Алгоритм метода:Отрезок ab делится пополам точкой с.Рассчитываются
16. Графическая интерпретация метода:
17. Блок-схема метода половинного деления
18. ДОСТОИНСТВА методаПростота методаУстойчивость методаНЕДОСТАТОК методаНизкая скорость сходимости
19. Метод хорд Исходные данные для реализации метода:f(x)=0[a, b]E
20. Алгоритм метода:Отрезок ab делится на 2 отрезка
21. Графическая интерпретация метода:
22. Блок-схема метода хорд
23. ДОСТОИНСТВА методаПростота методаУстойчивость методаБолее высокая скорость сходимостиНЕДОСТАТОК методаДля некоторых частных случаев метод не применим
24. Метод касательных (метод Ньютона)Исходные данные для реализации метода:f(x)=0f ’(x)x0E
25. Алгоритм метода:В точке x0 к графику функции
26. Графическая интерпретация метода:
27. Блок-схема метода касательных
28. ДОСТОИНСТВО методаВысокая скорость сходимостиНЕДОСТАТКИ методаНеобходимость задавать производную функции в аналитическом видеМетод является неустойчивым
29. Метод секущих Метод секущих является модификацией метода касательныхИсходные данные для реализации метода:f(x)x0E
30. Алгоритм метода:Алгоритм аналогичен предыдущему методу, но производная
31. ДОСТОИНСТВА методаВысокая скорость сходимостиНет необходимости задавать производную функции в аналитическом видеНЕДОСТАТОК методаМетод является неустойчивым
32. Скачать презентанцию

Преподаватель Дмитрий Игоревич Балашов

Главная
Разное
Дисциплина Численные методы

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Дисциплина Численные методы

Слайд 2Преподаватель Дмитрий Игоревич Балашов

Слайд 3Дисциплина состоит из 6 модулей:
Численное решение нелинейных уравнений.
Численное решение СЛАУ.
Численное

решение СНУ.
Численное интегрирование.
Интерполяция и аппроксимация функций.
Численное решение ОДУ.

Форма отчетности –

ЗАЧЕТ

Дисциплина состоит из 6 модулей:Численное решение нелинейных уравнений.Численное решение СЛАУ.Численное решение СНУ.Численное интегрирование.Интерполяция и аппроксимация функций.Численное решение

Слайд 4Численное решение нелинейных уравнений

Слайд 5Общий вид нелинейного уравнения
f(x)=0

где
x – аргумент,
f(x) –

функционал одной переменной

Слайд 6Существуют различные методы решения нелинейных уравнений Наиболее распространенный: аналитический метод

Слайд 7Трансцендентные уравнения
Пример:

Или после преобразования:

Слайд 8Для решения таких уравнений можно использовать графический метод:

Слайд 9Недостаток графического метода:
Низкая точность получаемого результата.

Также для решения подобного рода

уравнений можно использовать численные методы

Недостаток графического метода:Низкая точность получаемого результата.Также для решения подобного рода уравнений можно использовать численные методы

Слайд 10Теорема
о существовании корней уравнения f(x)=0

Если на концах интервала [a, b]

функция f(x) имеет разные знаки, то это значит, что в

интервале [a, b] уравнение f(x)=0 имеет хотя бы один корень.

Теоремао существовании корней уравнения f(x)=0Если на концах интервала [a, b] функция f(x) имеет разные знаки, то это

Слайд 11Графическая интерпретация теоремы о существовании корней

Слайд 12Обратная теорема не верна

Слайд 13Большинство численных методов основаны на этой теореме
В дальнейшем примем допущение

о том, что на интервале [a, b] имеется только один

корень уравнения f(x)=0

Большинство численных методов основаны на этой теоремеВ дальнейшем примем допущение о том, что на интервале [a, b]

Слайд 14Метод половинного деления (метод дихотомии, метод бисекции)
Исходные данные для реализации метода:

f(x)=0
[a, b]
E

Слайд 15Алгоритм метода:

Отрезок ab делится пополам точкой с.
Рассчитываются значения функции f(x)

в точках a, b и c.
Один из отрезков ac или

cb, на концах которого функция f(x) имеет одинаковые знаки, отбрасывают и далее продолжают работать с оставшимся отрезком.

Процесс повторяется до тех пор, пока длина оставшегося отрезка не станет меньше величины точности Е.
|a-b|
В этом случае за корень уравнения можно принять середину полученного отрезка
x=(a+b)/2

Алгоритм метода:Отрезок ab делится пополам точкой с.Рассчитываются значения функции f(x) в точках a, b и c.Один из

Слайд 16Графическая интерпретация метода:

Слайд 17Блок-схема метода половинного деления

Слайд 18ДОСТОИНСТВА метода

Простота метода
Устойчивость метода

НЕДОСТАТОК метода

Низкая скорость сходимости

Слайд 19Метод хорд
Исходные данные для реализации метода:

f(x)=0
[a, b]
E

Слайд 20Алгоритм метода:

Отрезок ab делится на 2 отрезка точкой с. Точка

с является точкой пересечения оси абсцисс ОХ с хордой, соединяющей

точки f(a) и f(b).
Рассчитываются значения функции f(x) в точках a, b и c.
Один из отрезков ac или cb, на концах которого функция f(x) имеет одинаковые знаки, отбрасывается и далее продолжают работать с оставшимся отрезком.

Процесс повторяется до тех пор, пока длина оставшегося отрезка не станет меньше величины точности Е.
|a-b|В этом случае за корень уравнения можно принять середину полученного отрезка
x=(a+b)/2

Алгоритм метода:Отрезок ab делится на 2 отрезка точкой с. Точка с является точкой пересечения оси абсцисс ОХ

Слайд 21Графическая интерпретация метода:

Слайд 22Блок-схема метода хорд

Слайд 23ДОСТОИНСТВА метода

Простота метода
Устойчивость метода
Более высокая скорость сходимости

НЕДОСТАТОК метода

Для некоторых частных

случаев метод не применим

ДОСТОИНСТВА методаПростота методаУстойчивость методаБолее высокая скорость сходимостиНЕДОСТАТОК методаДля некоторых частных случаев метод не применим

Слайд 24Метод касательных (метод Ньютона)
Исходные данные для реализации метода:

f(x)=0
f ’(x)
x0
E

Слайд 25Алгоритм метода:

В точке x0 к графику функции f(x) проводится касательная.

Находится более точное значение x – это точка пересечения касательной

с осью абсцисс ОХ.
Таким образом каждая последующая точка будет лежать ближе к истинному решению, чем предыдущая.
Последующая точка рассчитывается через предыдущую по формуле
xi+1=xi-f(xi)/f ’(xi)

Процесс повторяется до тех пор, пока разность между последующей и предыдущей точкой не станет меньше величины точности Е
|xi+1-xi|
В этом случае за корень уравнения можно принять последнюю найденную точку xi.

Алгоритм метода:В точке x0 к графику функции f(x) проводится касательная. Находится более точное значение x – это

Слайд 26Графическая интерпретация метода:

Слайд 27Блок-схема метода касательных

Слайд 28ДОСТОИНСТВО метода

Высокая скорость сходимости

НЕДОСТАТКИ метода

Необходимость задавать производную функции в аналитическом

виде
Метод является неустойчивым

ДОСТОИНСТВО методаВысокая скорость сходимостиНЕДОСТАТКИ методаНеобходимость задавать производную функции в аналитическом видеМетод является неустойчивым

Слайд 29Метод секущих
Метод секущих является модификацией метода касательных

Исходные данные для реализации

метода:

f(x)
x0
E

Слайд 30Алгоритм метода:

Алгоритм аналогичен предыдущему методу, но производная функции вычисляется по

приближенной формуле:

где x – малая величина. Как правило за эту

величину принимают величину точности Е:

Алгоритм метода:Алгоритм аналогичен предыдущему методу, но производная функции вычисляется по приближенной формуле:где x – малая величина. Как

Слайд 31ДОСТОИНСТВА метода

Высокая скорость сходимости
Нет необходимости задавать производную функции в аналитическом

виде

НЕДОСТАТОК метода

Метод является неустойчивым

ДОСТОИНСТВА методаВысокая скорость сходимостиНет необходимости задавать производную функции в аналитическом видеНЕДОСТАТОК методаМетод является неустойчивым

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Дисциплина Численные методы

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Дисциплина Численные методы

Слайд 2Преподаватель Дмитрий Игоревич Балашов

Слайд 3Дисциплина состоит из 6 модулей:Численное решение нелинейных уравнений.Численное решение СЛАУ.Численное

решение СНУ.Численное интегрирование.Интерполяция и аппроксимация функций.Численное решение ОДУ.Форма отчетности –

Слайд 4Численное решение нелинейных уравнений

Слайд 5Общий вид нелинейного уравненияf(x)=0 где x – аргумент, f(x) –

функционал одной переменной

Слайд 6Существуют различные методы решения нелинейных уравнений Наиболее распространенный: аналитический метод

Слайд 7Трансцендентные уравненияПример: Или после преобразования:

Слайд 8Для решения таких уравнений можно использовать графический метод:

Слайд 9Недостаток графического метода:Низкая точность получаемого результата.Также для решения подобного рода

уравнений можно использовать численные методы

Слайд 10Теоремао существовании корней уравнения f(x)=0Если на концах интервала [a, b]

функция f(x) имеет разные знаки, то это значит, что в

Слайд 11Графическая интерпретация теоремы о существовании корней

Слайд 12Обратная теорема не верна

Слайд 13Большинство численных методов основаны на этой теоремеВ дальнейшем примем допущение

о том, что на интервале [a, b] имеется только один

Слайд 14Метод половинного деления (метод дихотомии, метод бисекции)Исходные данные для реализации метода:f(x)=0[a, b]E

Слайд 15Алгоритм метода:Отрезок ab делится пополам точкой с.Рассчитываются значения функции f(x)

в точках a, b и c.Один из отрезков ac или

Слайд 16Графическая интерпретация метода:

Слайд 17Блок-схема метода половинного деления

Слайд 18ДОСТОИНСТВА методаПростота методаУстойчивость методаНЕДОСТАТОК методаНизкая скорость сходимости

Слайд 19Метод хорд Исходные данные для реализации метода:f(x)=0[a, b]E

Слайд 20Алгоритм метода:Отрезок ab делится на 2 отрезка точкой с. Точка

с является точкой пересечения оси абсцисс ОХ с хордой, соединяющей

Слайд 21Графическая интерпретация метода:

Слайд 22Блок-схема метода хорд

Слайд 23ДОСТОИНСТВА методаПростота методаУстойчивость методаБолее высокая скорость сходимостиНЕДОСТАТОК методаДля некоторых частных

случаев метод не применим

Слайд 24Метод касательных (метод Ньютона)Исходные данные для реализации метода:f(x)=0f ’(x)x0E

Слайд 25Алгоритм метода:В точке x0 к графику функции f(x) проводится касательная.