Дисциплина: МАТЕМАТИКА Лектор: Ахкамова Юлия Абдулловна доцент кафедры

методики обучения математике ЮУрГГПУ
akhkamovayua@cspu.ru

сложения и умножения вероятностей.  
.
МАТЕМАТИКА ППИ

математика.
Данко П.Е., Попов А.Г и др. Высшая математика в упражнениях

и задачах, часть II.

с. 50-63.

испытания хотя бы одного из этих событий.







Пусть А - идет

дождь, а В - идет снег, то (А + В) - либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки;

Ω – пространство элементарных исходов испытания.

результате испытания всех этих событий.





Пусть события: А – «из колоды

карт вынута дама», В – «из колоды карт вынута карта пиковой масти». Значит, А∙В означает «вынута дама пик».

отношению к рассматриваемому событию А) – это событие, которое происходит,

если не происходит событие А.

в том, что происходит событие А, но не происходит событие

В.

двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.


Следствие.

Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.
Р(А1)+… + Р(Аn) = 1.
В частности,

трех по геометрии. Вероятность правильно решить задачу по алгебре равна

0,8, а по геометрии - 0,6. Какова вероятность правильно решить все три задачи хотя бы по одному из предметов?
Решение.

одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий

без вероятности их совместного появления


Расширенная теорема сложения
Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)-Р(АВС).

– горными лыжами, 5 - сноубордом и горными лыжами, а

остальные - другими видами спорта. Какова вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен занимается только горными лыжами или только сноубордом?
Решение.

лыжами; через В – выбранный спортсмен занимается только сноубордом.
Тогда

событие - наудачу выбранный спортсмен занимается только горными лыжами или только сноубордом можно записать как А + В.
Так как события А и В совместны, то
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Найдем вероятности событий А, В и АВ.
Итак, Р(А)=5/25=0,2; Р(В)=10/25=0,4;
Р(АВ)=5/25=0,2 .
Следовательно, Р(А+В)=0,2+0,4–0,2=0,4.

события А не зависит от того, произошло событие В или

нет.
Определение. Два события называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

произошло, называется условной вероятностью события В.

Обозначается РА(В) или Р(В/А).
По определению

произведению вероятности наступления одного из них на условную вероятность другого,

вычисленную при условии, что первое событие произошло
Р(АВ)=Р(А)∙Р(В/А) или
Р(АВ)=Р(В)∙Р(А/В)

из них на условные вероятности всех остальных при условии, что

все предыдущие события уже совершились

Р(А1...Аn)=Р(А1)Р(А2/А1)Р(А3/А1А2)...Р(Аn/А1А2...Аn-1)

Если события независимые, то теорема умножения вероятностей принимает вид:
Р(АВ)=Р(А)∙Р(В)

что он вытянет счастливый билет, который знает, если он вытягивает

билет:
а) первым; б) вторым.
Решение.
а) Р= 20/25=4/5.
б) обозначим события:
А – первый студент вынул «счастливый» билет, В – второй студент вынул «счастливый» билет.

– независимые события. Событие А – наступило хотя бы одно

из Аi, А=А1+...+Аn.
Если Аi несовместны, то
Р(А)=Р(А1+...+Аn)=Р(А1)+...+Р(Аn).
Если Аi совместны, то рассмотрим противоположное событие - ни одно из Аi не наступило,

Тогда

бросании монеты. Обозначим через А событие «в первый раз выпал

герб», через В событие «выпало не менее двух гербов». Найдите вероятности событий Р(А), Р(В) и Р(АВ), если все исходы бросаний равновероятны. Независимы ли эти события?
Решение.

Вероятность попадания в цель первого стрелка 0,9, второго - 0,75.

Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель?
Решение.
Обозначим через Аi событие – i-ый стрелок попадет в цель;
противоположное событие - i-ый стрелок не попадет в цель, i =1, 2.
Тогда событие - хотя бы один стрелок попадет в цель

образование,2009, с. 30-51.