Элементы общей алгебры

которых определены действия, удовлетворяющие основным алгебраическим аксиомам

а геометрия — это просто алгебра, воплощенная в фигурах»
Софи Жермен
Алгебра

— наука об алгебраических операциях, выполняемых над элементами различных множеств

A в множество A, при этом образ пары (x, y) обозначим,

например, x  y, где  — символ операции. Здесь A — произвольное непустое множество и AA — множество всех упорядоченных пар (x, y) — таких, что x, y  A. Непустое множество A называется основным множеством операции.
Можно составить иерархию множеств с бинарной операцией (разумеется, вместо  может быть вставлена любая — +, –, *, , , , , ,  и т.д. и т.п.).

элемента

задана некоторая бинарная операция, обозначаемая . Если множество группоида конечно,

то есть A = card (A) = n, то таблица Кэли операции группоида есть таблица  n  n, в которой элемент x  y  A находится в клетке пересечения строки x и столбца y. Конечный группоид можно считать заданным, если выписана его таблица Кэли.

закону ассоциативности, т.е. группоид (A,), в котором для каждой тройки

элементов a , b и с  выполняется условие a  ( b  с) = (a  b)  с.
Моноид — это, по определению, полугруппа с единицей.

бинарная операция которого (например, ) такова, что каждое из уравнений

a  x = b, y  a = b имеет единственное решение для любых элементов a, b этого множества.
Лупа, или квазигруппа с единицей, определение которой получается из аксиом группы отбрасыванием требования ассоциативности, особенно близка к группе.

— есть лупа, являющаяся в то же время полугруппой.

Пусть G — произвольное непустое множество, на котором задана бинарная алгебраическая операция  , т.е. для любых двух элементов a  и b из G определен некоторый элемент (обозначаемый, например, a  b) также из G.
Если при этом выполняются условия:
1) (a  b)  c = a   (b  c) для любых a, b и c из G;
2) в G существует такой элемент e (называемый единицей, иногда — нейтральным элементом), что a  e = e  a = a для любого a из G;
3) для любого a из G существует такой элемент a –1 (обратный к a элемент), что a  a –1 =  a –1  a =  e,
то множество G с заданной на нем операцией    назовем группой.
Абелева группа есть группа (A, ), в которой для любых двух элементов a , b  A имеет место a  b = b  a .

m} называется алгеброй. Обозначение алгебры: A = (M; 1, 2,…,

m), где M — называется основным множеством (несущим множеством, носителем) алгебры, а  = {1, 2,…, m} — сигнатурой алгебры A.
Типом алгебры A называется вектор арностей операций сигнатуры.
Множество M с заданными на нем отношениями {R1, R2,…, Rn} называется моделью. Обозначение модели: M = (M; R1, R2,…, Rn), где M — несущее множество (универсум) модели, а  = { R1, R2,…, Rn} — сигнатурой модели M.
Множество M с заданными на нем операциями {1, 2,…, m} и отношениями {R1, R2,…, Rn} называется алгебраической системой или алгебраической структурой. Обозначение алгебраической структуры: M = (M; 1, 2,…, m; R1, R2,…, Rn).

образ, вид, форма) – это одно из основных понятий современной

математики, которое исторически возникло сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим системам, как группы, кольца, поля и др., но оказавшееся принципиально существенным для общего понимания строения и структуры самых разных систем.
Пусть даны две системы объектов S и S/ , причем в первой системе S определены отношения Fk (x1, x2, ...), k = 1, 2, ..., n, а во второй системе S/ – определены отношения F/k (x/1, x/2, ...), k = 1, 2, ..., n. Системы S и S/ с указанными на них здесь отношениями называются изоморфными, если между ними существует такое взаимно однозначное соответствие x/=(x), x = (x/), где x – произвольный элемент системы S, а x/ – произвольный элемент системы S/, что из наличия Fk (x1, x2, ...) вытекает F/k (x/1, x/2, ...), и наоборот. Отображение  называется в этом случае изоморфным отображением или изоморфизмом системы S на систему S/, а обратное ему отображение  – изоморфизмом системы S/, на систему S. Факт изоморфности систем S и S/ обозначается следующим образом: SS /.

) – отображение множества элементов одной алгебраической системы в (в

том числе на) другую, сохраняющее все значимые отношения (в частности, все операции).
АВТОМОРФИЗМ (от греческих слов  – сам и ) – изоморфизм некоторой системы объектов на себя.
ЭНДОМОРФИЗМ – (от греческих слов  – внутри и ) – гомоморфизм алгебраической системы в (в том числе и на) себя.

после и ) или, что то же самое, сюръективное отображение

(СЮРЪЕКЦИЯ) множества A на множество B – отображение f такое, что образ A есть все B, т.е. f(A)=B.
МОНОМОРФИЗМ – (от греческих слов  – один и ) или, что то же самое, инъективное отображение (ИНЪЕКЦИЯ) множества A в множество B – отображение, при котором различные элементы из A имеют различные образы в B. Инъективное отображение называют также взаимно однозначным отображением множества A в множество B или вложением.
БИМОРФИЗМ – (от латинского bi – двойной, двоякий и ) или, что то же самое, биективное отображение (БИЕКЦИЯ) –мономорфизм и эпиморфизм одновременно.

множество R, для элементов которого определены две бинарные операции —

сложение и умножение (обозначаемые  и  соответственно; знак  обычно опускается), причем предполагаются выполненными следующие аксиомы колец (a, b, c  R):
Коммутативность сложения: a  b = b  a.
Ассоциативость сложения:
a  (b  c) = (a  b)  c.
Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение a  x = b имеет решение x = b  a   R.
  Дистрибутивность умножения относительно сложения:
a (b  c) = a b  a c и (b  c) a = b a  c a.

, то кольцо называют ассоциативным;
если

, альтернативным;
если ab = ba и , йордановым;
если a2 = a, a(bc) + b(ca) +c(ab) = 0, то оно называется кольцом Ли;
если ab = ba , то кольцо называется коммутативным.
Примеры колец:
множество всех целых чисел;
множество всех четных чисел и вообще целых чисел, кратных данному числу m;
множество всех рациональных чисел;
множество всех многочленов от одного или нескольких переменных с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами;
множество всех функций, непрерывных на данном отрезке числовой прямой

(A, +) является абелевой группой, а система (A, ), где

A получается из A удалением нулевого элемента (т.е. нейтрального элемента абелевой группы), является группой и операция  дистрибутивна относительно операции + .
Теорема. Кольцо является телом тогда и только тогда, когда оно содержит не менее двух элементов и оба уравнения ax = b и xa = b, разрешимы для любых элементов a, b A, где a  0.
Тело служит обобщением системы (Q, + , ) рациональных чисел, однако требование коммутативности умножения опускается.
Теорема Веддербёрна. Всякое конечное тело коммутативно.

элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции — сложение

и умножение, обе ассоциативные и коммутативные, связанные между собой законом дистрибутивности, т.е. для любых a, b, c из поля справедливо:
a  b  b  a , ab  ba ,
(a  b)  c  a  (b  c), (ab) c  a (bc),
(a  b) c  ac   bc .
Кроме того, в поле требуется существование нулевого элемента 0 (нуля), для которого 0  a  a , и для каждого элемента a противоположного элемента –a, то есть такого элемента, что a  (–a )  0, а также существование единичного элемента e (единицы), для которого ae  a, и для каждого ненулевого элемента a существование обратного элемента a–1, т.е. такого элемента, что aa–1  e. Отсюда следует, что в поле выполнимы операция вычитания, а также операция деления на ненулевой элемент. Таким образом, все элементы поля образуют абелеву группу по сложению (аддитивная группа поля), а все ненулевые элементы — абелеву группу по умножению (мультипликативная группа поля).

двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную

нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.

алгебра с двумя бинарными операциями (они обозначаются  и 

или  и , а также  и ), удовлетворяющая следующим тождествам
(1) a  a = a, (1) a   a = a {идемпотентность},
(2) a  b = b  a, (2) a   b = b  a {коммутативность},
(3) (a  b)  c = a  (b  c), (3) (a  b) c = a   (b  c) {ассоциативность},
(4) a (a  b) = a, (4) a  a  b = a  {поглощение}.
Связь между этими двумя определениями устанавливается при помощи формул:
a  b = sup {a, b},         a  b = inf {a, b}, 
и обратно. При этом для любых элементов a и b эквивалентны следующие утверждения: (а) a b  ; (б) a b = a; (в) a  b = b. Понятия изоморфизма решеток как универсальных алгебр и как частично упорядоченных множеств совпадают. Однако произвольное изотонное отображение решетки R в решетку R не обязано быть гомоморфизмом этих решеток как универсальных алгебр.

включению;
2) всякое линейно упорядоченное множество; причем если a b, то

sup{a, b} = b, а inf {a, b} = a;
3) множество всех надпространств векторного пространства, упорядоченных по включению, где inf — пересечение, а sup — сумма соответствующих надпространств;
4) множество всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по делимости: a b , если b = ac для некоторого c. Здесь sup — наименьшее общее кратное, а inf — наибольший общий делитель данных чисел;