ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

события, случайные величины, их свойства и операции над ними

относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных

игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмперическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях.

относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх,

Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с

перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно.

вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных

случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).

он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых

испытаний.

применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые

предельные теоремы.

учёные П.Л.Чебышев, А.А.Марков и А.М.Ляпунов. В это время были доказаны

закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова.

Андрей Николаевич Колмогоров. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический

вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

для этого события исходов к n числу всех равновозможных исходов
Вероятность

выражают в процентах
Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р (от французского слова probabilite, что означает – возможность, вероятность)

50 билетов, в 12 из них встречается вопрос по конденсаторам.

Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по конденсаторам

Решение:


m=50-12=38 –билетов без конденсаторов
n=50 –всего билетов

Р(А)= =0,76 Ответ: 0,76

7 из них встречается вопрос по кислотам. Найдите вероятность того,

что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам.

Ответ: 0,8

из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии

и 5 — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Финляндии

Решение
Всего участвует n = 9+3+8+5=25 спортсменов.
А т.к. финнов m = 5 человек, то вероятность того, что на последнем месте будет спортсмен из Финляндии

P = = 0,2

9 спортсменов из Сербии, 7 спортсменов из Хорватии и 5

– из Словении. Порядок в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Македонии

m = 4
n = 25

P = = 0,16

приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что

купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение
m = 180-8 = 172 сумки качественные,
n= 180 всего сумок

P = = 0,955...≈ 0,96

8 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная

сумка окажется качественной.

m = 80
n = 80+8=88

P = = 0,91

вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите

до сотых.

Решение Игральные кости - это кубики с 6 гранями. На первом кубике может выпасть  1, 2, 3, 4, 5 или  6 очков. Каждому варианту выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков на втором кубике. Т.е. n = 6×6 = 36. Варианты (исходы эксперимента) будут такие:
1;1  1;2  1;3  1;4  1;5  1;6
2;1  2;2  2;3  2;4  2;5  2;6 и т.д. ..............................
6;1  6;2  6;3  6;4  6;5  6;6
Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма очков двух кубиков равна 8: 2;6   3;5;  4;4   5;3  6;2     Всего m = 5 вариантов. Найдем вероятность.  

P = = 0,138 ≈ 0,14

что в сумме выпадет 4 очка.
m = 3
это

1,1,2
1,2,1
2,1,1
n = 6 × 6× 6 = 216

P =

вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
Решение
Всего вариантов n

= 2×2×2=8.
Благоприятных m = 3 варианта: о; о; р    
о; р; о   р; о; о 
Вероятность равна

P = = 0,375

что орел не выпадет ни разу.
m = 1
это р, р,

р
n = 2×2×2 = 8

P = = 0,125

в 14 из них встречается вопрос по зоологии. Найдите вероятность

того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по зоологии.

Решение
m = 35-14=21- билет без зоологии
n = 35 – всего билетов
Вероятность равна

P = =0,6

из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что

в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по производной

m = 20 – 13 = 7
n = 20

P = = 0,35

80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между

четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение
1 день – 12 докладов, 2 день – 12 докладов, 3 день – 12 докладов, 4 день – 22 доклада, т.к. (80- 3×12):2=22
5 день – m = 22 доклада. n = 80 – всего выступлений. Вероятность выступления профессора М:

P = = 0,275

– по одному от каждой страны. В первый день 33

выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

1 день – 33 выступления
2, 3 день – по (75-33):2=21 выступление
m = 21 n = 75

P = = 0,28

продажу, 12 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный

для контроля насос не подтекает.

Решение
m = 2000-12=1988 - насосов не подтекает
n = 2000 – всего насосов
Вероятность, что случайно выбранный насос не подтекает:

P = =0,994

подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля

насос не подтекает

m = 1000 – 4 = 996
n = 1000

P = = 0,996

разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего

в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Решение
Так как Руслан Орлов сам с собой играть не может, то вероятность его игры с каким-нибудь спортсменом из России будет (m = 9, n = 25):

P = = 0,36

игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате

участвует 36 спортсменов, среди которых 8 участников из России, в том числе Василий Петров. Найти вероятность того, что в первом туре Василий Петров будет играть с каким-либо спортсменом из России?

m = 7
n = 35

P = = 0,2

более 12 очков при одновременном бросании двух игральных костей
2. Вероятность

купить исправную лампочку из 1000, если 3 бракованных, равна (1000 + 3) / 1000
3. При бросании симметричной монеты трижды существует = 6 вариантов выпадения очков
4. Если симметричную монету бросить четыре раза, то вероятность того, что орел не выпадет ни разу равна нулю
5. Если из 2000 садовых насосов подтекает 12, то вероятность того, что один случайно выбранный насос не подтекает равна 12 /2000