fb728085_lektsiya_st1.ppt

вероятности. Формула Байеса.
Законы распределения случайных величин (биноминальный, Пуассона, Максвелла, Больцмана).

данной совокупности условий


Невозможные события никогда не происходят при осуществлении данной

совокупности условий

Достоверные события всегда происходят при осуществлении данной совокупности условий

испытании
Совокупность случайных событий А1, А2,А3,…Аn называется полной группой для данного

испытания, если в результате испытания обязательно происходит только одно из событий этой совокупности
Два события (А и ) называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого

противоположное событие (читается «не А»)

А+В состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из

них
Произведением (совмещением) двух событий А и В называется событие АВ состоящее в их совместном появлении

За время наблюдения каждая из них может как разделиться, так

и нет. Рассматриваются события:
А – разделилась ровно одна клетка
В – разделилась хотя бы одна клетка
С – разделилось не менее двух клеток
D – разделились ровно две клетки
E – разделились ровно три клетки
F – разделились ровно четыре клетки
В чем состоят события: 1) А+B; 2) АB; 3) В+C; 4) ВC; 5) D+E+F; 6) BF? Верны ли равенства: 7) BF=C; 8) ВC=D?

Ответы:1)B; 2) А; 3) B; 4) C; 5) C; 6) F;
7) верно; 8) нет

пара. События:
А – первый ребенок болел коклюшем;
В – второму ребенку

сделана прививка;
С – второй ребенок тоже болел коклюшем.
Выяснить смысл событий: АС, ВС, АВС, , , В +А.

Ответы:
АС – оба ребенка болели коклюшем;
ВС – второму ребенку сделана прививка, но он болел коклюшем;
АВС – оба ребенка болели коклюшем, причем второму сделана прививка;
– оба ребенка болели коклюшем, причем второму не сделана прививка;
– второму ребенку сделана прививка, он не болел коклюшем;
В +А – либо первый, либо второй ребенок болел коклюшем.

благоприятствующих этому событию элементарных событий (m) к общему числу всех

равновозможных несовместных элементарных событий (n), образующих полную группу.

Чтобы рассчитать классическую вероятность необходимо до проведения испытаний теоретически подсчитать:
общее число всех равновозможных несовместных элементарных событий (n)
число благоприятствующих этому событию равновозможных несовместных элементарных событий (m)

различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число возможных

перестановок рассчитывается по формуле: Pn = n!,
n!= 1∙2∙3∙…∙n, причем 0!=1, 1!=1
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов в каждом, которые отличаются либо элементами, либо их порядком. Число возможных размещений

элементов в каждом, которые отличаются хотя бы одним элементом

Пример: Приема

у зубного врача ожидают 3 мужчин и 5 женщин. Врач вызывает двоих. Какова вероятность того, что зайдут один мужчина и одна женщина?
Решение:
1) Число общих исходов (способы, которые позволяют вызвать 1 мужчину и 1 женщину из 8 человек)
2) Число благоприятных исходов для мужчин - , для женщин

Вероятность

опытов (m), в которых появилось событие А, к общему числу

произведенных опытов (n).
Относительная частота меняется для данного события мало – тем меньше, чем больше число испытаний.
Вероятностью события А называют число, к которому стремится относительная частота события А при увеличении числа испытаний.

подсчитать:
общее число всех проведенных испытаний (n)
число испытаний, в которых появилось

событие А (m)
рассчитать относительную частоту W(A)

Пример: При стоматологическом обследовании 250 студентов, у 125 человек был обнаружен пульпит, у 75-периодонтит, у 50-вторичный кариес. Какова вероятность заболевания вторичным кариесом у студентов?
Решение:
общее число всех проведенных испытаний=250
число испытаний, в которых появилось событие А=50
Относительная частота:

события Р=1

Вероятность невозможного события Р=0

Вероятность случайного события 0

событий, безразлично какого, равна сумме их вероятностей: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Следствие:
Сумма

вероятностей несовместных событий, образующих полную группу равна 1.
Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(A2)+…+P(An)=1
Для противоположных событий

сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления: Р(А+В)=Р(А)

+ Р(В) – Р(АВ)

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(А∙В)=Р(А)∙Р(В)

События называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления второго.

что событие А уже произошло:
PA(B)= P(A⋅В)/Р(А)

Вероятность совместного

появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло: P(A⋅В)=P(A)⋅PA(B)

условии появления одного из несовместных событий В1,В2,В3,…,Вn, образующих полную группу,

равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
Р(А)=Р(В1)РВ1(А)+Р(В2)РВ2(А)+… +Р(Вn)PBn(A)

Их называют гипотезами, т.к. неизвестно заранее какое из них приведет

к появлению события А. Произведен опыт, в результате которого появилось событие А. Спрашивается, как изменится вероятность гипотез в связи с появлением этого события?
По существу необходимо найти условную вероятность PA(Bi) для каждой гипотезы.

того, как проведено испытание, в результате которого произошло событие А.

по одной мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка

0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.
Решение: До опыта возможны гипотезы:
В1– ни первый, ни второй стрелки не попали в цель
В2– оба попали в цель
В3– первый стрелок попал, а второй промахнулся
В4– первый стрелок не попал, а второй попал

события А (попадания в цель) при этих гипотезах равны: PA(B1)=0;

PA(B2)=0; PA(B3)=1; PA(B4)=1.
После опыта гипотезы B1 и B2 становятся невозможными (т.к. есть одно попадание).

цель поражена первым стрелком

серии испытаний при одних и тех
же условиях?
Допущения:
Вероятность ожидаемого события Р(А)=р

остается постоянной в каждом испытании
Учитываются только два исхода: появление события А или его альтернатива
Р( )=q, причем p+q=1

независимых испытаниях k раз.


с учетом, что
имеем

формула Бернулли

очень мала (p 0, а вероятность альтернативы

q 1 ). Часто распределение Пуассона называют законом редких явлений.
Распределение Пуассона характеризуется средней арифметической и дисперсией σ2 = D причем
Принято считать

формула Пуассона

скоростям. В равновесном состоянии макроскопические параметры газа (Р, V, Т)

остаются постоянными, а микросостояния меняются

функция
распределения

наиболее вероятная скорость молекул

средняя скорость молекул

(гравитационном, электромагнитном и т.п.)

распределение Больцмана
При сравнении распределений Больцмана

и
Максвелла видно, что это распределения частиц
по энергиям (потенциальной и кинетической)