Фиктивные Переменные 1. Типы фиктивных переменных. 2. Тест Чоу

значения.

Эти различные значения могут быть любыми числами, но в целях

удобства интерпретации это всегда
0 и 1.

факторов.

воздействует качественный фактор, который принимает два значения (имеет две категории):

А и Б,
или
А и не А.

D.

для объектов, на
которых качественный
фактор принимает
значение А

для объектов, на
которых качественный
фактор принимает
значение не А

для …не А

для … А

βk*Xk + *D + u

+ u
Интерпретация коэффициента δ:

при любых фиксированных значениях факторов X2,

X3, …, Xk значения фактора Y различаются в среднем на δ для объектов, на которых качественный признак D принимает и не принимает значение А.

+ u
Проверяя по t-тесту значимость δ, мы тем самым проверяем

значимость или незначимость различия значений Y для объектов имеющих и не имеющих качество А.

доход семьи, в рублях.

Предполагается, что потребление зависит также от того,

проживает ли семья в городе или в сельской местности.

и D=0 для городских семей.
Модель:
Y = β1 + β2*X +

*D + u.

Модель оценивается по выборке n=30.

(1119) (0.22) (349)
Проверяем гипотезу:
H0: δ =

0
HA: δ  0
Гипотеза H0 отвергается при у.з. 1%.
Вывод: существует значимое различие в затратах на потребления для городских и сельских семей, имеющих одинаковый доход.

меньше, чем городские семьи, имеющие такой же доход.

и сельские семьи реагируют одинаково.
При каждом увеличении дохода на 1

руб. потребление обоих типов семей увеличивается в среднем на 0,57 рубля.

отдельно для сельских и городских семей.
Для городских D=0:
Ŷ = 3750

+ 0,57*Х

Для сельских D=1:
Ŷ = 3750 + 0,57*Х - 1230 =
= 2520 + 0,57*Х.

взаимодействия.

p > 2.

в этом случае трудно интерпретировать коэффициенты при ФП.

которых принимает два значения:
0 и 1.

Каждая такая

ФП является индикатором объектов, на которых качественный фактор принимает одно из своих значений.

е. в модель включаются не все p, а только p-1

фиктивных переменных.

Эталонной делают ФП – индикатор такой категории (значения качественного признака), с которой хотят сравнивать все остальные p-1 категории.

= β1+ β2*X2 + … + βk*Xk + 2*D2 +

… + p*Dp + u

Если в модель включить все p ФП D1, D2, … , Dp, то для любого объекта выборки будет выполняться:
D1 + D2 + … + Dp = 1
и будет иметь место совершенная МК D1, D2, … , Dp и свободного члена модели.

количество фиктивных переменных.

от уровня образования сотрудника (4 категории, как и выше) и

от его пола.

D1, D2, D3, D4.
Пусть, например, эталонной будет D3.

Для фактора

«пол» вводим ФП П. Пусть, например,
П=0 для мужчин
П=1 для женщин

+ *П + u.

+ u

ФП D влияет только на значение свободного члена и

НЕ влияет на значение коэффициента наклона при Х.

для разных категорий объектов, у которых X один и тот

же;
(б) при изменении фактора Х фактор Y изменяется ОДИНАКОВО для обеих категорий объектов.

по-разному реагировать на изменения Х для разных категорий объектов.

+ *D*X + u.

Ее можно переписать так:
Y = (β1 +

*D) + (β2 + *D)*X + u.

в годах.
На з/п влияют также качественные факторы:
пол,
наличие высшего образования.

= 1 для мужчин.

Вводим ФП Е – «наличие высшего образования»:
Е

= 0, если в/о нет,
Е = 1, если в/о есть.

λ*П*Е + u.

Перепишем эту модель в виде:
Y = α

+ β*X + ( + *E)*П + γ*Е + u.
Эта модель предполагает, что при постоянном стаже (Х) влияние на з/п признака пол (П) различное для групп сотрудников, имеющих и не имеющих высшего образования.

γ*Е + u.

Т. е. при одинаковом стаже разница в з/п

у мужчин (П=1), имеющих в/о (Е=1) и не имеющих в/о (Е=0) составляет ( + ) рублей.
При одинаковом стаже разница в з/п у женщин (П=0), имеющих (Е=1) и не имеющих в/о (Е=0) составляет  рублей.

λ*П*Е + u.

Эту модель можно переписать по-другому:
Y = α +

β*X + *П + (γ + λ*П)*Е + u.

Эта модель предполагает, что при постоянном стаже (Х) влияние на з/п наличия или отсутствия в/о различно для мужчин и женщин.

λ*П)*Е + u.

Т.е. при одинаковом стаже (Х) разница в з/п

у мужчин (П=1) и женщин (П=0) с в/о (Е=1) составляет ( + λ) рублей.

При одинаковом стаже (Х) разница в з/п у мужчин (П=1) и женщин (П=0) без в/о (Е=0) составляет  рублей.

λ*П*Е + u.

Примечание. Значимость коэффициента λ безотносительно к значимости или

незначимости остальных коэффициентов при ФП, означает, что имеется значимое различие в з/п категории П = 1, Е = 1 (у нас это мужчины с в/о) над з/п других трех категорий сотрудников при одинаковом стаже.

значений зависимой и объясняющих переменных (Xi; Yi).

Например, одна выборка

пар значений переменных объемом n1 получена при одних условиях, а другая, объемом n2 — при несколько измененных условиях. Необходимо выяснить, действительно ли две выборки однородны в регрессионном смысле. Другими словами, можно ли объединить две выборки в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по X?

параметров регрессии по каждой из выборок и в случае пересечения

соответствующих доверительных интервалов сделать вывод о единой модели регрессии. Возможны и другие подходы.

В случае, если объем хотя бы одной из выборок незначителен, то возможности такого (и аналогичных) подходов резко сужаются из-за невозможности построения сколько-нибудь надежных оценок.

преодолеваются.
Алгоритм теста Чоу:
1.По каждой выборке строятся две линейные регрессионные

модели:

Проверяемая нулевая гипотеза имеет вид —

где - векторы параметров двух моделей; ( ) - их случайные возмущения.

ФП, когда имеется возможность разделения совокупности на­блюдений по степени воздействия

этого фактора на отдельные группы и требуется установить возможность использования единой модели регрессии.

Оценивание регрессии с использованием ФП более информативно в том отношении, что позволяет использовать t-критерий для оценки существенности влияния каждой фиктивной переменной на зависимую переменную.

Тест Чоу может применяться, например, для выявления стабильности временного ряда. Для этого временной ряд разбивается на две подвыборки: до существенных изменений ряда и после этого. Выдвигается гипотеза о структурной стабильности тенденции ряда и проверяется на основании теста Чоу.