ГЛАВА I. МЕХАНИКА § 4. Динамика материальной точки

им. В. А. Фабриканта
2020

движение.
I. Законы Ньютона
I закон Ньютона: существуют такие системы отсчёта, в

которых материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие других объектов не выведет её из этого состояния.
II закон Ньютона: ускорение материальной точки совпадает по направлению с силой, с которой действуют на неё другие тела, и равно отношению этой силы к массе точки:
III закон Ньютона: две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю, противоположными по направлению и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки:

§4. Динамика материальной точки

(ИСО) — система отсчёта, относительно которой материальная точка, не испытывающая

внешних воздействий, движется равномерно и прямолинейно.
Все тела обладают инертностью — свойством сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения в отсутствие внешних воздействий.
Масса — скалярная ФВ — характеристика тела, являющаяся мерой его инертности;

воздействия на данное тело другого ФО. Каждая сила описывает действие

какого-либо ФО;
Линия действия силы — прямая, вдоль которой направлена сила.
Силовая линия — кривая, касательные к которой в каждой её точке совпадают по направлению с силой.
Пример
Силовые линии гравитационного поля Земли

описывающих действие на данное тело других ФО:
n — число воздействующих

объектов
Принцип независимости действия сил: если на материальную точку одновременно действует n ФО, то ускорение этой точки
— дифференциальное уравнение движения материальной точки
— главный вектор сил, с которыми другие ФО действуют на данную МТ

ФО, не входящих в данную механическую систему, на тела, входящие

в неё.
Внутренние силы — силы, описывающие взаимодействие тел, входящих в данную механическую систему.
III закон Ньютона

§4. Динамика материальной точки

— точка, для которой
или


§4. Динамика материальной точки

m2 находятся на расстоянии l друг от друга. Где находится

ЦМ системы?
Теорема о движении центра масс: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, к которой приложена сила, равная равнодействующей внешних сил, приложенных к системе:
Доказательство
Механическая система состоит из N МТ. Дифференциальное уравнение движения i-ой МТ

§4. Динамика материальной точки

m1 на МТ массы m2, находящуюся на расстоянии r от

точки массой m1:
— закон всемирного тяготения
— гравитационная постоянная
Пример
Сила тяжести — гравитационная сила вблизи поверхности Земли:
— ускорение свободного падения

§4. Динамика материальной точки

после прекращения взаимодействия, являющегося её причиной. Воздействие деформированного тела на

тело, вызвавшее деформацию, описывается силой упругости.
Линейная деформация подчиняется закону Гука:
— вектор деформации, k — коэффициент упругости (жёсткость) деформируемого тела
Вес тела — сила, описывающая действие тела на опору или подвес.

§4. Динамика материальной точки

тел, параллельная поверхности их контакта. Наличие этой составляющей обусловлено неупругими

деформациями тел.
Закон сухого трения (закон Кулона):
µ — коэффициент трения — безразмерная ФВ; зависит от материала и состояния соприкасающихся поверхностей.
VI. Кинематические связи
Кинематическая связь — ограничение, накладываемое на движение тела.

§4. Динамика материальной точки

нить
Рассмотрим участок натянутой нити 1-2. По условию невесомости масса этого

участка Δm = 0. Участки нити, находящиеся по обе стороны от данного участка, действуют на него с силами
По т. о движении ЦМ

§4. Динамика материальной точки

координаты точек нити по её длине от некоторой точки (например,

одного из концов нити). Рассмотрим участок нити 1-2. Координата точки 1 равна l1, координата точки 2 соответственно равна l2 По условию нерастяжимости длина этого участка должна оставаться постоянной:
Δl = l2 – l1 = const.
Отсюда

§4. Динамика материальной точки

модели: материальная точка, твёрдое тело, механическая система (указать, какие тела

в неё входят)
Выбор системы отсчёта (в большинстве случаев — лабораторная)
Рисунок (или несколько рисунков)
Определение воздействующих объектов. Расстановка обозначений на рисунке: сил, ускорений и т. д.
Запись II закона Ньютона (теоремы о движении центра масс) в векторной форме
Выбор системы координат (можно вводить разные системы координат для разных тел)
Запись закона в проекциях на оси системы координат
Подсчёт числа уравнений и числа неизвестных. Запись дополнительных уравнений (другие законы, уравнения связей и т. п.)
Решение полученной системы уравнений в общем виде
Анализ результата и проверка размерностей
Численный расчёт и оценка его результата

§4. Динамика материальной точки

в дифференциальной форме
Импульс материальной точки — векторная ФВ, характеризующая инертность

и движение тела (количество движения):
— импульс силы
II закон Ньютона: изменение импульса МТ равно импульсу силы.
Импульс механической системы равен сумме импульсов тел (МТ), входящих в эту систему:

§4. Динамика материальной точки

центра масс:
Доказательство
Т. о движении ЦМ:
Если система замкнута, то и
— закон сохранения

импульса механической системы: импульс замкнутой системы остаётся неизменным с течением времени.

§4. Динамика материальной точки