ГЛАВА I. МЕХАНИКА § 8. Работа и энергия

им. В. А. Фабриканта
2020

(джоуль).
1. Кинетическая энергия МТ:
2. Кинетическая энергия механической системы:
Кинетическая энергия тела,

совершающего поступательное движение:
(m — масса тела, v — модуль его скорости)
3. Кинетическая энергия ТТ, вращающегося вокруг неподвижной оси:

§8. Работа и энергия

Кёнига: кинетическая энергия ТТ, совершающего плоское движение, равна сумме кинетической

энергии поступательного движения этого тела со скоростью, равной скорости Цм тела, и вращения тела вокруг оси, проходящей через ЦМ тела перпендикулярно плоскости движения:

Вычислим кинетическую энергию тела по определению:

— энергетическая характеристика взаимодействия.
[A] = Дж
1. Элементарная работа:
2. Работа:
l —

траектория точки приложения силы
Графический смысл работы: площадь под кривой Fl(l) равна модулю работы при перемещении точки приложения этой силы по траектории l.

— энергетическая характеристика взаимодействия (или тела, совершающего работу), равная скорости

совершения работы.
[N] = Вт (ватт)
Средняя мощность:
Мгновенная мощность:

§8. Работа и энергия

кинетической энергии механической системы равно сумме работ внешних и внутренних

сил:
Доказательство
Рассмотрим МТ массы m, которая испытывает воздействие, описываемое силой

§8. Работа и энергия

материальной точки
Поле (в математике) — величина как функция радиуса-вектора (или

координат). Задать силу как функцию радиуса-вектора материальной точки, воздействие на которую описывается этой силой, значит задать силовое поле.
Поле в физике — физический объект.
Поле потенциально (сила потенциальна), если работа поля при перемещении МТ по любой замкнутой траектории равна нулю (иначе говоря, циркуляция силы по произвольному замкнутому контуру равна нулю):
Работа потенциального поля по перемещению МТ не зависит от формы её траектории, а зависит только от начального и конечного положения МТ.

§8. Работа и энергия

из положения 1 в положение 2 называется работа потенциального поля,

совершаемая при этом перемещении, взятая с обратным знаком:
Потенциальная энергия МТ — ФВ — энергетическая характеристика взаимодействия, равная работе потенциального поля по перемещению МТ в данное положение из точки, где потенциальная энергия принята равной нулю, взятая с обратным знаком:
Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной.

§8. Работа и энергия

скользит по шероховатой поверхности.
Сила трения непотенциальна.
2. Работа силы упругости
Пружина жёсткостью

k растягивается из состояния с деформацией x1 до деформации x2.
Сила упругости потенциальна.

§8. Работа и энергия

Поле центральных сил
Центральная сила — сила, модуль которой зависит только

от расстояния от точки, называемой силовым центром (центром силы), направленная вдоль радиуса-вектора, соединяющего центр силы с точкой приложения силы:

§8. Работа и энергия

энергии. Градиент
— оператор «набла» (оператор векторного дифференцирования)
§8. Работа и энергия

y, z) по x и т. д.
Градиент — произведение вектора ∇

на скалярную функцию — векторная функция скалярного аргумента; в декартовых координатах
Направление градиента — направление наиболее быстрого возрастания скалярной функции.
grad Wп = 0 — положение равновесия
Устойчивое равновесие — min Wп
Неустойчивое равновесие — max Wп

§8. Работа и энергия

координат: Wп = axyz, где a — постоянная. Найти силу, с которой

поле действует на МТ, как функцию координат.
в любой точке на осях x, y, z — устойчивое равновесие при a > 0 и неустойчивое при a < 0.
VI. Потенциальная энергия механической системы
Потенциальная энергия механической системы равна работе внешних и внутренних потенциальных сил при переходе системы из данной конфигурации в конфигурацию, где потенциальная энергия системы принята равной нулю (конфигурация системы — это совокупность координат тел (МТ), входящих в эту систему):

§8. Работа и энергия

m взаимодействуют гравитационно. Расстояние между центрами масс этих тел равно

r. Найти потенциальную энергию системы.
Положим Wп(∞) = 0.
VII. Закон сохранения и изменения механической энергии
Рассмотрим механическую систему. По т. об изменении кинетической энергии
Механическая энергия системы — ФВ — сумма кинетической и потенциальной энергии:

§8. Работа и энергия

работ внешних и внутренних непотенциальных сил:
Закон сохранения механической энергии: механическая

энергия системы не изменяется с течением времени, если сумма работ внешних и внутренних непотенциальных сил равна нулю, а все внешние потенциальные силы стационарны (т. е. не зависят явным образом от времени).
Консервативные силы — потенциальные силы и непотенциальные силы, работа которых равна нулю.
Диссипативные силы — непотенциальные силы, работа которых меньше нуля.
Диссипация энергии — переход энергии упорядоченных процессов (в данном случае —механической энергии) в энергию неупорядоченных процессов (внутреннюю энергию).

§8. Работа и энергия