Интересные свойства трапеции

работ среди обучающихся школ Правобережного района
Выполнила :
Тараева Залина
ученица

8 класса
МКОУ СОШ с. Н.Батако

Руководитель: Гагиева А.О.
20.11.2012 года
г.Беслан
2012

изучаются, но при решении геометрических задач ЕГЭ из развернутой части

С 4 бывает необходимо знать и уметь применять именно эти свойства .

и в, на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок к этой

прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен

a

В

к

проходящий через точку пересечения диагоналей равен:
а
в
с

ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым

сторонам, равны между собой.

МР=ОК

Р

М

О

К

окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит

боковую сторону.

О

О

то её диагональ перпендикулярна боковой стороне
О
А
В
С
Д

сторона равна её средней линии.
С
В
А
Д
h

окружность, можно использовать следующие свойства:
1. Сумма оснований трапеции равна сумме

боковых сторон.
2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны.
3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности.
4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.
5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n, то радиус вписанной окружности равен

образованный центром вписанной окружности, точками касания и вершиной трапеции —

квадрат, сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r).



2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, то площадь трапеции равна произведению ее оснований: S=AD*BC

CF=m, FD=n. Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны,

высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

углом 90º .
 1)∠ABC+∠BAD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB).
2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(так

как биссектрисы делят углы пополам).
3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, отсюда ∠AKB=180-90=90º.
Вывод: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.
Это утверждение применяется при решении задач на трапецию, в которую вписана окружность.

стороне, лежит на средней линии трапеции.
 Пусть биссектриса угла ABC пересекает

сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS
Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS.
Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD.
Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS.
Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

другому основанию.
В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные

с основаниями AK и DK соответственно.
 Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD.
Вывод:
Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции.
У равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.

 

основанию.
В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с

основаниями BF и CF соответственно.
Отсюда AD=AF+FD=AB+CD.
Вывод:
Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции.
У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.
 

 

 

неё можно описать окружности, то площадь трапеции равна