Исследование функций при помощи производных. Общая схема исследования функции и построения графика

факультет
Кафедра высшей математики




Математика

Лекция 8. Исследование функций при помощи производных. Общая

схема исследования функции и построения графика


Лектор: Бодряков В.Ю. E-mail: Bodryakov_VYu@e1.ru
Поток: 1 к. ИКРиМ, 2012-2013 уч.г.



Екатеринбург - 2012

СПб.: Лань, 2007. – 448 с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по

высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с.
Электронный ресурс: www.exponenta.ru

Рекомендуемая литература

Максимум и минимум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на

отрезке
§3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
§4. Асимптоты графика функции
§5. Общая схема исследования функции и построения графика

Содержание лекции

условия, ⇐). Если функция y = f(x) дифференцируема на интервале

(a; b) и f′(x) > 0, то функция f(x) возрастает; если f′(x) < 0, то функция f(x) убывает всюду на интервале (a; b).
Доказательство: Пусть f′(x) > 0. Возьмем точки x1, x2 ∈ (a; b), причем x1 < x2. Применим к отрезку [x1; x2] теорему Лагранжа: f(x2) − f(x1) = f′(c)⋅(x2 − x1), где c ∈ (x1; x2). По условию теоремы f′(c) > 0 и x2 − x1 > 0. Следовательно, разность f(x2) − f(x1) > 0 или f(x2) > f(x1) , т.е. функция y = f(x) возрастает на интервале (a; b). Случай f′(x) < 0 на интервале (a; b) рассматривается аналогично, ч.т.д.
Правило исследования функции y = f(x) на монотонность (монотонное поведение), т.е. на возрастание или убывание.
Для того, чтобы исследовать функцию y = f(x) на монотонность необходимо: 1) вычислить производную этой функции y′ = f′(x) и 2) установить интервалы в которых f′(x) > 0 и (или) f′(x) < 0.

§1. … Возрастание и убывание функции (продолжение)

= x3 − 3x − 4 на монотонность, т.e. на

возрастание и убывание.
Решение: Функция (рис., а) определена всюду на числовой оси R = (−∞; +∞). Ее первая производная равна f′(x) = 3x2 − 3 = 3(x + 1)(x − 1). Исследуем знак производной методом интервалов (рис., б).







Ответ: Функция возрастает при x ∈ (−∞; −1)∪(1; +∞), здесь f′(x) > 0; и убывает при x ∈ (−1; 1), здесь f′(x) < 0.

§1. … Возрастание и убывание функции (продолжение)

f(x) (см. рис. из примера 1), если существует такая δ

- окрестность точки x0, то есть интервал (x0 − δ; x0 + δ), что при всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x0).
Df: Точка x0 называется точкой (локального) минимума функции y = f(x) (см. рис), если существует такая δ - окрестность точки x0, что ∀x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(x0).
Df: Значение функции f(x0) в точке x0 максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции y = f(x). Максимумы и минимумы функции обобщенно называются экстремумами функции.

§2. Максимум и минимум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Геометрически равенство f′(x0) = 0 означает, что в точке x0

экстремума дифференцируемой функции y = f(x) касательная к ее графику параллельна оси Ox (см. рис. к примеру 1).
2. Утверждение, обратное к утверждению теоремы Ферма, в общем случае неверно: из того, что f′(x0) = 0 не следует, что в точке x0 функция y = f(x) достигает своего экстремума (экстремальна). Например, для функции y = x3 производная функции равна y′ = 3x2 = 0 в точке x0 = 0, однако, эта точка не является точкой экстремума (СРС).
3. Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция y = |x| в точке x0 = 0 производной не имеет, но точка x0 – точка минимума (СРС).

§2. Максимум и минимум функции … (продолжение)

условие экстремума). Если непрерывная функция y = f(x) дифференцируема в

некоторой δ-окрестности точки x0 и при переходе через нее в положительном направлении, т.е. слева направо, ее производная f′(x) меняет знак с «+» на «−», то x0 есть точка максимума; если же производная f′(x) меняет знак с «−» на «+», то x0 есть точка минимума.
Мнемоническая схема:


Доказательство: Рассмотрим δ-окрестность точки x0. Пусть выполняются условия f′(x) > 0 ∀x ∈ (x0 − δ, x0) и f′(x) < 0 ∀x ∈ (x0, x0 + δ). Тогда функция f(x) возрастает на интервале (x0 − δ, x0) и убывает на интервале (x0, x0 + δ).

§2. Максимум и минимум функции … (продолжение)

x

x0

max

f′(x) > 0

f′(x) < 0

x

x0

min

f′(x) < 0

f′(x) > 0

является наибольшим на интервале (x0 − δ, x0 + δ),

т.е. f(x) < f(x0) для всех x ∈ (x0 − δ, x0)∪(x0, x0 + δ). Это и означает, что точка x0 − точка максимума функции y = f(x). Случай, когда производная функции f′(x) меняет в точке x0 знак с «−» на «+», рассматривается аналогично, ч.т.д.
Правила исследования функции на экстремум:
1) Найти критические точки функции y = f(x).
2) Выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции D.
3) Исследовать знак производной f′(x) слева и справа от каждой из выбранных критических точек.
4) В соответствии с теоремой о достаточном условии экстремума выписать точки экстремума, если они есть, и вычислить значения функции в каждой из них.

§2. Максимум и минимум функции … (продолжение)

y = f(x), основанный на анализе знака второй производной f″(x).

Т е о р е м а 5. Если в точке x0 первая производная дважды дифференцируемой функции y = f(x) равна нулю (f′(x0) = 0), а 2-ая производная отлична от нуля (f″(x0) ≠ 0), то при f″(x0) < 0 в точке x0 функция имеет максимум, а при f″(x0) > 0 – минимум.
Мнемоническая схема:

§2. Максимум и минимум функции … (продолжение)

x

x

x0

x0

max

min

f″(x0) < 0

f″(x0) > 0

Как известно (теорема Вейерштрасса), такая функция достигает своих наибольшего и

наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке x0 отрезка [a; b], либо на границе отрезка, т.е. в точках a или b. Если x0 ∈ (a; b), то точку x0 следует искать среди критических точек данной функции.

§2. … Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (продолжение)

b] на наибольшее и наименьшее значения:
1) Найти критические точки функции

y = f(x) на интервале (a; b).
2) Вычислить значения функции в найденных критических точках.
3) Вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках x = a и x = b.
4) Среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
З а м е ч а н и е. Если функция не имеет критических точек на промежутке (a; b), то такая функция монотонно возрастает или убывает, достигая своих наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка [a; b].

§2. … Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (продолжение)

и наименьшее значения функции f(x) = 3x4 + 4x3 +

1 на отрезке [−2; 1].
Решение: Приравняв нулю производную функции y = f(x), найдем критические точки данной функции:
y′ = (3x4 + 4x3 + 1)′ = 12x3 + 12x2 = 12x2⋅(x + 1) = 0.
Вычислим значения функции на границах отрезка [−2; 1], а также в критических точках x1 = −1 и x2 = 0 (см. табл.):


Ответ: Наименьшее значение функции fнаим = f(−1) = 0; наибольшее значение функции fнаиб = f(−2) = 17.

§2. … Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (продолжение)

(выпуклым книзу) на интервале (a; b), если он расположен выше

любой ее касательной на этом интервале (см. рис.). Наоборот, график функции y = f(x) называется выпуклым вверх (выпуклым кверху) на интервале (a; b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.
Df: Точка графика непрерывной функции y = f(x), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба (графика) функции.

§3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба

е о р е м а 6. Если дважды дифференцируемая

функция y = f(x) во всех точках интервала (a; b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. f″(x0) < 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f″(x0) > 0 ∀x ∈ (a; b) – график выпуклый вниз.
Доказательство: СРС.

§3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба

о р е м а 7 (достаточное условие существования точек

перегиба). Если у дважды дифференцируемой функции y = f(x) 2-ая производная f″(x0) при переходе через точку x0, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой x0 есть точка перегиба.
Доказательство: Пусть f″(x) < 0 при x < x0 и f″(x) > 0 при x > x0. Это значит, что слева от точки x = x0 график выпуклый вверх, а справа – выпуклый вниз. Следовательно, точка (x0; f(x0)) графика является точкой перегиба, ч.т.д.
Аналогично доказывается, что если f″(x) > 0 при x < x0 и f″(x) < 0 при x > x0, то точка (x0; f(x0)) − точка перегиба.

§3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба (продолжение)

и точки перегиба график функции y = x3 − 3x

+ 6.
Решение: Найдем первую и вторую производные функции и приравняем последнюю нулю:
y′ = (x3 − 3x + 6)′ = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1).
y″ = 6x = 0 при x0 = 0.
Ясно, что y″ < 0 при x < 0, здесь график функции y(x) выпуклый вверх, и y″ > 0 при x > 0, здесь график функции y(x) выпуклый вниз. Точка x0 = 0 – точка перегиба.
Ответ: Точка x0 = 0 – точка перегиба (см. график на первом слайде §3).

§3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба (продолжение)

+ b, где k – конечное число, то говорят, что

эта прямая является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) (см. рис.); в частности, если k = 0, то говорят о горизонтальной асимптоте к графику функции y = f(x).







Итак, будем искать уравнение наклонной асимптоты к графику функции y = f(x) в виде y = kx + b. Найдем k и b.

§4. Асимптоты графика функции (продолжение)

(см. далее).
З а м е ч а н и я:
1.

Приведенная схема исследования является общей и, в зависимости от конкретного вида исследуемой функции, в простых случаях некоторые пункты могут быть опущены.
2. Если построение графика функции остается затруднительным даже проведения полного исследования функции, следует вычислить и построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности поведения функции.
3. Иногда целесообразно исследование функции сопровождать постепенным построением эскиза графика функции y = f(x).

§5. Общая схема исследования функции и построения графика

графика:
1) Найти область определения функции.
2) Найти точки пересечения графика с

осями координат.
3) Найти интервалы знакопостоянства функции, т.е. интервалы, на которых f(x) > 0 и f(x) < 0.
4) Установить четность и (или) периодичность функции.
5) Найти асимптоты графика функции.
6) Найти интервалы монотонности функции.
7) Найти экстремумы функции.
8) Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции.
9) На основании проведенного исследования построить график функции y = f(x).

§5. Общая схема исследования функции … (продолжение)