Клячкин Владимир Николаевич, кафедра ПМИ, осень 2020 - консультации по средам с

средам с 16-30, ауд. 318/2
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Программа:
1 лекция

в 2 недели:
3 раздела
1.Элементы теории вероятностей
2.Основы математической статистики
3.Методы анализа данных
1 практика в неделю
2 контрольные работы
Типовой расчет
Экзамен/зачет

ЛИТЕРАТУРА
1.В.Н.Клячкин, Ю.Е. Кувайскова, В.А. Алексеева. Статистические методы анализа данных. М., Финансы и статистика, 2016.
2. В.Н. Клячкин, Ю.Е. Кувайскова, В.А. Алексеева.
Сборник заданий по статистическим методам анализа данных. УлГТУ, 2016 http:// venec.ulstu.ru/lib/disk/2016/207.pdf

- событие, которое при соблюдении определенного комплекса условий может произойти,

а может и не произойти. Случайными событиями являются, например, взятие дефектной детали из партии изготовленной продукции, или выход из строя телевизора во время гарантийного периода. Степень возможности осуществления таких событий может быть большей или меньшей, она характеризуется вероятностью события.

Теория вероятностей – наука о закономерностях массовых случайных событий
Случайное событие можно рассматривать как результат некоторого эксперимента со случайными исходами, поставленного специально (взятие детали из партии) или в результате наблюдения за естественно происходящими событиями (выход из строя телевизора).
Множество взаимоисключающих исходов, таких, что в результате эксперимента произойдет один и только один из них, называется пространством элементарных событий и обозначается . Каждый наблюдаемый исход – элементарное событие, будем обозначать i; очевидно, i  .

А состоит из некоторого множества исходов i и является подмножеством

пространства элементарных событий: А  . Достоверное событие совпадает со всем пространством элементарных событий, невозможное – с пустым множеством Ø.
Суммой двух событий А и В называется событие А+В, состоящее в том, что произойдет или событие А, или событие В, или оба события вместе. Произведением событий А и В называется событие АВ, состоящее в том, что произойдут совместно и событие А, и событие В. Понятия суммы и произведения обобщаются на любое число событий. Противоположным событию А называется событие А, состоящее в том, что событие А не произойдет.
Два события А и В называются несовместными, если их одновременное осуществление невозможно – произведение АВ в этом случае – пустое множество: АВ = Ø. Очевидно, несовместные события не могут иметь общих элементарных исходов.
Совокупность F наблюдаемых в эксперименте событий называется полем событий – это некоторая совокупность подмножеств множества , содержащая достоверное и невозможное события, такая, что если она содержит события А и В, то ей принадлежат и сумма, и произведение, и противоположные к ним события.

верхней грани. Построить пространство элементарных событий и указать исходы, благоприятствующие

событиям:
А = {количество очков четно},
В = {количество очков больше 4},
С = { количество очков меньше 4},
D = {количество очков кратно семи},
E = {количество очков не больше 6},
G = {количество очков четно и больше 4},
Н = { количество очков или четно, или меньше 4},
К = {количество очков не больше 4}.
Решение
 = {1,2,3,4,5,6},
A = {2,4,6}, B = {5,6}, C = {1,2,3}, D = Ø, E = ,
G = AB = {6}, H = A+C = {1,2,3,4,6}; K = B = {1,2,3,4}.

исходов равновозможны – это следует из симметричности кости.
Обозначим количество

возможных исходов в данном эксперименте N()= n = 6.
Событию А = {количество очков четно} благоприятствует три из них: N(A) = m = 3. Вероятностью P(A) некоторого события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу равновозможных исходов данного эксперимента
P(A) = N(A) / N() (1)
В примере Р(А)=3/6, Р(В)=1/3 и т.п.
Для невозможного события m=0, тогда Р(Ø) = 0, (2)
для достоверного события Р() = 1, (3)
в общем случае 0  P(A)  1 (4)
Рассмотренное определение вероятности называется классическим. Существуют и другие определения – статистическое, геометрическое, аксиоматическое.

2. Определение вероятности

такие события называются практически невозможными. Например, если вероятность разрушения детали

составляет 0,0001 – в среднем разрушится одна деталь из 10000, то есть разрушение – событие маловероятное, или практически невозможное.
По аналогии, если вероятность некоторого события близка к единице (например, Р = 0,99999), такое событие практически достоверно – оно почти наверняка произойдет.

комплекса условий. Предположим, что произошло событие В - это обстоятельство

может изменить вероятность события А. Вероятность события А при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью и обозначается Р(А/В).
Теорема умножения:
вероятность произведения событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:
Р(АВ) = Р(В)Р(А/В), (7)
или Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) (8)
откуда Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В) (9)

В независимы, если вероятность одного из них не зависит от

того, произошло ли другое событие:
Р(А/В) = Р(А/ В) = Р(А) (10)
Для независимых событий вероятность произведения равна произведению вероятностей
Р(АВ) = Р(А)Р(В) (11)
- эта формула обобщается на любое число независимых событий.

,

(не имеющих общих исходов) можно показать, что вероятность суммы событий

равна сумме вероятностей:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (12)
эта формула обобщается на любое число попарно несовместных событий.

События А1, А2, … , Ак образуют полную группу, если их сумма – достоверное событие, то есть в данном эксперименте одно из них наверняка произойдет. Если при этом события попарно несовместны, то говорят, что они образуют полную группу несовместных событий.
В частности полную группу несовместных событий образуют противоположные события:
Р(А) + Р(А) = 1,
откуда вероятность противоположного события Р(А) = 1 – Р(А) (13)
Для совместных событий вместо (12) получим
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) (14)

которых изготовлены цехом 1, а остальные – цехом 2. В

продукции 1-го цеха брак составляет 2%, второго – 3%. Наудачу берется одна деталь. Какова вероятность, что она окажется бракованной?
Пусть А={деталь бракована},
Н1 = {деталь изготовлена цехом 1}, Н2 = {деталь изготовлена цехом 2},
тогда Р(Н1) = 0,7; Р(Н2) = 0,3; Р(А/Н1) = 0,02; Р(А/Н2) = 0,03.
Вероятность того, что деталь изготовлена цехом 1 и бракована Р(Н1А) = Р(Н1)Р(А/ Н1) = 0,014,
по аналогии Р(Н2А) = 0,009.
Вероятность того, что деталь бракована Р(А) = Р(Н1А) + Р(Н2А) = 0,023.

Обобщая этот результат, получим
Р(А) =  Р(Нi)Р(А/ Нi) (15)
формула полной вероятности.

вероятностей равна единице. Эти события называются гипотезами – заранее неизвестно,

какое из них произойдет.
Предположим, что в результате эксперимента произошло событие А. Тогда вероятности гипотез могут измениться.
Исходные значения вероятностей Р(Нi) называются априорными (доопытными) вероятностями, условные вероятности этих гипотез Р(Нi/А) – апостериорными (послеопытными).
В формуле (9) положим В = Нi, тогда
Р(А)Р(Нi /А) = Р(Нi)Р(А/ Нi),
откуда Р(Нi /А) = Р(Нi)Р(А/ Нi) / Р(А) или с учетом (13)
Р(Нi /А) = Р(Нi)Р(А/ Нi) /  Р(Нi)Р(А/ Нi) (16)
- формула Байеса, широко используемая в задачах технической диагностики – когда требуется установить причину того или иного нарушения.

гипотезы, причем по статистическим данным Р(Н1) = 0,6; Р(Н2) =

0,1; Р(Н3) = 0,3. При осмотре устройства выявлено, что произошло некоторое событие А. Условные вероятности этого события также известны по данным статистики: Р(А/Н1) = 0,1; Р(А/Н2) = 0,3; Р(А/Н3) = 0,8. Требуется установить, какая из гипотез наиболее вероятна.
Отметим, что до осмотра наиболее вероятна гипотеза Н1.
Апостериорные вероятности по формуле (14)
Р(Н1 /А) = 0,6 0,1 / [0.6 0.1 + 0.1 0.3 + 0.3 0.8] = 2/11;
Р(Н2 /А) = 1/11; Р(Н3 /А) = 8/11
– наиболее вероятная причина отказа – гипотеза Н3 .
Обратите внимание, что апостериорные вероятности, как и априорные, это вероятности полной группы событий – в сумме они равны единице.