Квантовые одночастичные задачи. Потенциальная яма Уравнение Шредингера. Бесконечная потенциальная яма.

задачи. Потенциальная яма

уравнение Шредингера:


Для независящего от времени потенциала:

Стационарное уравнение Шредингера:



Число собственных значений

и функций гамильтониана может быть конечным и бесконечным; собственные значения могут быть дискретными (дискретный спектр) или непрерывными (непрерывный спектр), некоторые значения могут совпадать (вырожденные состояния). Состояние с наименьшей энергией называется основным состоянием системы

ямы:


Трехточечная аппроксимация:

базисным функциям:



Задача сводится к системе линейных уравнений:

матрицы. Результатом процедуры диагонализации будет вектор-столбец собственных значений гамильтониана, или

спектр системы



Результатом процедуры диагонализации будет также матрица, состоящая из вектор-столбцов, отвечающих разложению собственных функций по исходному базису:

яме

аналитическим решением, n=100

связанные состояния и состояния непрерывного спектра
Собственные волновые функции, отвечающие значениям

энергии из непрерывного спектра, за пределами ямы ведут себя как плоские волны:

Собственные волновые функции, отвечающие связанным состояниям, за пределами ямы затухают экспоненциально:

При численном расчете волновых функций связанных состояний недостаточно ограничиваться лишь размерами ямы, так как волновые функции существуют и за ее пределами