Лекция 1. Векторы, линейные операции над векторами, скалярное, векторное,

произведения векторов, условие компланарности векторов.

конца вектора кратчайший поворот от

к кажется происходящим против часовой стрелки. В противном случае тройка левая.
; ; ; ; ; .
Если есть две тройки либо обе правые, либо обе левые, то они называются одной ориентации.

называется третий вектор , который удовлетворяет трем условиям:

1.

2.

3.

Векторы образуют правую тройку.
Обозначают: : или: [ ] ,

поворот головки винта соответствует повороту вектора а к вектору b

по наименьшему углу, то поступательное перемещение винта будет указывать направление вектора с.

если не один из множителей не равен 0. В случае,

если хоть один множитель = 0 , то - коллинеарны и [ ] - равно нулевому вектору.



Теорема 1. Для того чтоб и были коллинеарны необходимо чтоб их векторное произведение равнялось нулевому вектору .

Геометрические свойства векторного произведения

(по определению

1).
Достаточность . Пусть .
Из определения 1 , либо ,
либо .
а) ,
б) пусть хотя бы один из и нуль тогда
указанный вектор нулевой, он не имеет определенного направления, следовательно, его можно считать коллинеарным любому вектору.

и , как на сторонах.
Действительно, из

определения 1 следует:


Следствие:

(ассоциативность)

3) Распределительное свойство относительно суммы (дистрибутивность)

Д/З: доказать одно из свойств!

базис

Рассмотрим векторное произведение основных ортов.

1)

2)

3) образуют правую тройку.

или

правилу многочленов. По сочетательному свойству (2) можно выносить постоянный множитель за

знак векторного произведения. По антипереместительному свойству при перестановке сомножителей следует изменять знак

получим координаты в форме (**)

три координаты этого вектора в соотношении (**) - нули. То

есть





то есть если коллинеарен , то их одноимённые координаты пропорциональны.

произведением трёх векторов , , называют число,

равное скалярному произведению на и обозначается

Геометрический смысл смешанного произведения
Теорема. Смешанное произведение трёх некомпланарных векторов , , равно объему параллепипеда , построенного на этих векторах как на ребрах, взятому со знаком «+» , если - правая и со знаком «-» если - левая тройка

левая тройка

векторно, лишь бы не нарушить порядок сомножителей

§ 5. Условие компланарности

трёх векторов
Для того чтобы были компланарными, необходимо и достаточно:
Доказательство
Достаточность. Пусть - компланарны.

ч.т.д.

Необходимость. Пусть

По опреде-
лению 1:
Ч.т.д.
Так как их
скалярное произведение = 0

заданы в прямоугольной декартовой системе координат своими

координатами



то их смешанное произведение
равняется определителю 3-го порядка, строками которого являются координатные строки данных векторов.