Лекция 13

и магнитном полях.

Лоренца.
4.2. Движение заряженной частицы в однородном постоянном электрическом поле.
4.3. Движение

заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле.
4.4. Практические применения силы Лоренца. Эффект Холла.

Лоренца.
Мы уже знаем, что на проводник с током, помещенный в

магнитное поле, действует сила Ампера. Но ток в проводнике – есть направленное движение зарядов. Отсюда напрашивается вывод, что сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, обусловлена действием сил на отдельные движущиеся заряды, от которых это действие передается уже самому проводнику. Этот вывод подтверждается, в частности, еще и тем, что пучок свободно летящих заряженных частиц отклоняется магнитным полем.
Сила Ампера, действующая на элемент тока в магнитном поле с индукцией :
,
где α – угол между направлением тока в проводнике и вектором.
Пусть υ – скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике; q
заряд носителя тока (в металлах q = - e). Для элемента
тока можем написать:
dNqυ,
где n = dN/dV – концентрация зарядов, dN – число
зарядов в элементе объема dV = Sdl.

в векторном виде

.
Эту силу называют силой Лоренца (Lorentz H., 1853-1928).
Свойства силы Лоренца:
1. сила Лоренца действует только на движущуюся заряженную частицу;
2. и одновременно ;
3. поскольку , то сила Лоренца не совершает работу, а следовательно, не может изменить энергию частицы.
Если помимо магнитного поля присутствует еще и электрическое поле , то на частицу действует дополнительная сила:

Полная сила, действующая на заряженную частицу в электромагнитном поле (которую также называют силой Лоренца) есть:

случае и сила Лоренца имеет только электрическую составляющую

. Уравнением движения частицы в этом случае является:
.
Рассмотрим две ситуации: а) и б) .
а) .
Изменение кинетической энергии частицы на пути d
происходит за счет работы силы :

,
где U = Ed - ускоряющее напряжение.
В частности, если начальная скорость частицы υ0 = 0, то .
Время пролета частицы в электрическом поле и пройденный путь находим из уравнений:

уравнения движения частицы на координатные оси дают:

.
Координаты частицы в момент времени t составляют:
; .
Исключая из этих уравнений параметр t , находим уравнение траектории частицы:

Видим, что траекторией движения частицы является парабола.
Определим смещение следа частицы на экране, отстоящем от конденсатора на расстоянии b: , где
- смещение частицы по вертикали, полученное ею в электрическом поле к моменту вылета из конденсатора ;
- смещение частицы после вылета из конденсатора.

Таким образом, имеем:
.

случае и сила Лоренца имеет только магнитную составляющую

. Уравнением движения частицы, записанном в декартовой системе координат, в этом случае является:


.
Рассмотрим сначала случай, когда частица влетает под прямым углом к силовым линиям магнитного поля.
, , и уравнение движения принимает вид:


,
откуда следует, что вектор полного ускорения частицы лежит в плоскости, перпендикулярной вектору . Легко убедиться также в том, что вектор ускорения перпендикулярен вектору скорости частицы и составляет вместе с вектором правую тройку векторов (как и должно быть по свойствам силы Лоренца). Действительно,
.

к центру кривизны траектории и играет роль нормального (центростремительного) ускорения.

Модуль ускорения равен:

.
Траекторией движения является окружность , радиус R которой находим из условия: , то есть , откуда:

.
Период обращения частицы



Отметим, что период обращения и соответственно угловая скорость движения частицы не зависят от линейной скорости υ.

силовым линиям магнитного поля.
Разложим вектор скорости на две составляющие:

- параллельную вектору и - перпендикулярную . Поскольку составляющая силы Лоренца в направлении равна нулю, она не может повлиять на величину . Что касается составляющей , то этот случай был рассмотрен выше. Таким образом, движение частицы можно представить как наложение двух движений: одного – равномерного перемещения вдоль направления силовых линий поля со скоростью , второго – равномерного вращения в плоскости, перпендикулярной . В итоге траекторией движения будет винтовая линия.
Шаг винтовой линии определяется по формуле: , где
.
Радиус витка находим по формуле:

Направление, в котором закручивается винтовая линия,
зависит от знака заряда частицы. Если заряд частицы
положительный, то винтовая линия закручивается
против часовой стрелки, если смотреть вдоль
направления , и наоборот – по часовой стрелке,
если заряд частицы отрицательный.

известных проявлений силы Лоренца относится эффект, обнаруженный Холлом (Hall E.,

1855-1938) в 1880г.









Суть явления заключается в следующем: если металлическую пластинку, вдоль которой течет постоянный ток, поместить в магнитное поле, то между параллельными току и полю гранями пластинки возникает разность потенциалов, величина которой определяется выражением:
,
где b – толщина пластинки; j - плотность тока; R – так называемая постоянная Холла.

электроны, создающие ток. Направление тока противоположно направлению движения электронов. Поэтому

при включении магнитного поля на каждый электрон будет действовать сила, направленная к нижней грани пластинки и равная по величине
.
В результате на нижней грани появятся избыточные отрицательные заряды, а на верхней - соответственно избыточные положительные заряды. Между верхней и нижней гранью возникнет разность потенциалов U, то есть электрическое поле. Напряженность поля . Сила, действующая на электрон со стороны этого поля, направлена вверх и равна по величине:
.
При установившемся процессе разделения зарядов , откуда, принимая во внимание, что плотность тока , находим холловскую разность потенциалов:
Постоянная Холла , где n – концентрация электронов в металле.
Эффект Холла наблюдается не только в металлах, но и в полупроводниках, а также в электролитах. Знак холловской разности потенциалов зависит от знака носителя заряда. Поэтому эффект Холла широко применяют не только для определения концентрации носителей заряда в полупроводниках, но также для определения типа полупроводника.

различных электронных устройствах (кинескоп, магнетрон), масс-спектрографах, ускорителях заряженных частиц, других

устройствах и приборах.

Движение заряженных частиц в вакуумной камере циклотрона

Селектор скоростей и масс-спектрометр

Магнитная «бутылка». Заряженные частицы не выходят за пределы «бутылки». Магнитное поле «бутылки» может быть создано с помощью двух круглых катушек с током

электроны и протоны) попадают в магнитные ловушки радиационных поясов. Частицы

могут покидать пояса в полярных областях и вторгаться в верхние слои атмосферы, вызывая полярные сияния